El MLE para el PDF $f_\theta(x)=\theta x$$0\leq x\leq\sqrt{2/\theta}$: ¿dónde está el error?

Question

Considere la posibilidad de $f_X(x;\theta)=\theta\cdot x$, $x\leq\sqrt{\frac{2}{\theta}}$. Encontrar el máximo de la probabilidad de que el estimador $\hat{\theta}$$\theta$.

Por definición, el MLE de $f(x_1\ldots,x_n;\hat{\theta})=\max.f(x_1,\ldots,x_n;\theta)$

$$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) \implica \ln (L(\theta))=\sum_{i=1}^n \ln(\theta \cdot x_i)=n\cdot \ln(\theta)+\sum_{i=1}^n\ln(x_i)$$

$$\implies \frac{d}{d\theta}L'(\theta)=\frac{d}{d\theta}n\cdot \ln(\theta)=\frac{n}{\theta}=0 \iff n=0$$

Esto hace que por supuesto no tenía sentido, así podría alguien darme una pista de donde he cometido un error?

Answer 1

La probabilidad de la función $L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n)$ está dado por $$L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{cases} \prod\limits_{i=1}^n \theta \cdot x_i, & \theta \leq \frac{2}{x_{(n)}^2},\\ 0, & \theta > \frac{2}{x_{(n)}^2}, \end{casos}$$ donde $x_{(n)} = \max\limits_k x_k$ $n$- ésimo orden de estadística. En otras palabras, $L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es proporcional a $\theta^n$ para $\theta \in \left(0,\frac{2}{x_{(n)}^2}\right]$ $L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n) =0$ lo contrario.

Por lo tanto, $L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es un monotono el aumento de la función de $\theta$ on $\left(0,\frac{2}{x_{(n)}^2}\right] = \left(0,\frac{2}{(\max_k x_k)^2}\right]$. Encontrar la ubicación de su máximo se deja como un ejercicio para usted. Pero, por favor, no se diferencian y el conjunto de la derivada igual a $0$ como se trató anteriormente.