La comprensión de la definición de compacidad.

Question

$(X, \mathscr T )$ ser un espacio topológico y $A \subset X$. $\{ U_i \mid i \in I \}$ se dice que es una cubierta abierta de a $A$ si $A \subset \cup_{i \in I} U_i$. $A$ se dice compacto si existe finito $J \subset I$ tal que $A \subset \cup_{i \in J} U_i$. $\{ U_i \mid i \in J \}$ a continuación, se llama finita subcover de $A$.

Mi duda:

Vamos conjunto de bloques abiertos que cubren $A \subset X$$\{U_1,U_2, U_3, \dots\}$. Si añadimos $X$ en esta colección de abrir sets, entonces también cubre $A$ es decir, el nuevo revestimiento se $\{X, U_1,U_2, U_3, \dots\}$. Ahora necesitamos un subconjunto finito de los de arriba "que cubre el conjunto". Deje que el subconjunto ser $\{X, \phi \} $ i.e $\{X, \phi \} \subset \{X, U_1,U_2, U_3, \dots\}$. Este subconjunto cubriría $A$ desde $A \subset X$. Por lo $A$ es compacto. Pero que prácticamente se puede hacer esto con cualquier subconjunto de a $X$. Sé que esto está mal, pero donde estoy cometiendo un error?

Answer 1

La definición es que CADA apertura de la tapa ha finito subcover. Así que los abra las cubiertas que tiene X como su elemento puede ser escrito de esa manera, pero hay muchas otras abra las cubiertas que no tienen X! Si para todos aquellos cubre podemos encontrar finito subcovers, que el conjunto podría ser llamado un conjunto compacto.

Answer 2

La definición de compacidad significa que para cualquier abra la cubierta $\mathcal{U}$ del espacio $X$ hay un número finito de $U_1 , \ldots , U_n$ a partir de que la colección de $\mathcal{U}$ , que también cubre $X$. Cuando "agregar$X$"$\mathcal{U}$, están cambiando la apertura de la tapa en diferentes apertura de la tapa, vamos a llamar a $\mathcal{U}^\prime$. Mientras que la colección de $\{ X , \varnothing \}$ (o, en realidad, sólo $\{ X \}$), es de un número finito de subcover de esta nueva apertura de la tapa $\mathcal{U}^\prime$, pero no (en general) de un número finito de subcover de la original de la apertura de la tapa.

Answer 3

Creo que el problema en la comprensión de esto es que se han combinado varias definiciones en una sola declaración, y las otras definiciones oscurecer el que usted debe centrarse en. Usted debe separar las definiciones por lo que no están tan entrelazados. Por ejemplo:

(1) la Definición de la portada: Vamos a $X$ ser un conjunto. Una cubierta de $X$ es un conjunto $\mathscr A \subset \mathscr P(X)$ tal que $\bigcup\mathscr A = X$.

(2) la Definición de la apertura de la tapa: Vamos a $(X,\mathscr T)$ ser un espacio topológico. Una cubierta abierta de a $X$ es una cubierta $\mathscr A$ $X$ tal que $\mathscr A \subset \mathscr T$.

(3) Definición de subcover: Vamos a $\mathscr A$ ser una portada de un conjunto $X$. Un (finito) subcover es un (finito) set $\mathscr B \subset \mathscr A$ que es también una cubierta de $X$.

(4) Definición de compacidad: Vamos a $(X,\mathscr T)$ ser un espacio topológico. $X$ es compacto si toda cubierta abierta $\mathscr A$ $X$ contiene un número finito de subcover de $X$.

He de decir que en todo esto, la frase calificativa "de $X$" frecuentemente se omite si es claro en el contexto.