En primer lugar, introducir una notación. N denota el conjunto de números naturales, 0 incluido.
ParaE⊆Nn∈N, le denota por πE(n)=|E∩{1,…,n}| y πE=π−1E(E)={k∈N:πE(k)∈E}
De ahí, por ejemplo, si E denota el conjunto de los números pares, πE denota el conjunto de números que tener un número de menor o igual incluso números. Desde la secuencia de {πE(n)}n es 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,… tenemos que \pi E = \{ 2,3,6,7, 10,11, 14,15 \dots\} = \{ n \in \Bbb{N}: n \pmod{4} \in \{ 2,3\}\}.
Este fue sólo por diversión, pero me di cuenta de que tanto E \pi E han densidad de 1/2, es decir, \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |E \cap \{ 1, \dots , n\}| = \frac 12 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |\pi E \cap \{ 1, \dots , n\}|
Un patrón similar aparece en los otros conjuntos de E \subseteq \Bbb{N}: he comprobado que esto tiene para los conjuntos de la forma E=a\Bbb{N} ( a >1 ) y para el conjunto de los cuadrados perfectos.
Así que mi pregunta es: ¿existe algún teorema acerca de \pi E en la literatura, y es cierto que tiene la misma densidad de E (siempre que éste existe)?
PS: me di cuenta de que cada conjunto finito de la forma E=\{ 1, \dots , n\} es un contraejemplo. De todos modos, tuve conjuntos infinitos en mi mente, así que por favor, considere sólo el caso al E es un conjunto infinito.