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La densidad de un conjunto de números.

En primer lugar, introducir una notación. N denota el conjunto de números naturales, 0 incluido.

ParaENnN, le denota por πE(n)=|E{1,,n}| y πE=π1E(E)={kN:πE(k)E}

De ahí, por ejemplo, si E denota el conjunto de los números pares, πE denota el conjunto de números que tener un número de menor o igual incluso números. Desde la secuencia de {πE(n)}n es 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8, tenemos que \pi E = \{ 2,3,6,7, 10,11, 14,15 \dots\} = \{ n \in \Bbb{N}: n \pmod{4} \in \{ 2,3\}\}.

Este fue sólo por diversión, pero me di cuenta de que tanto E \pi E han densidad de 1/2, es decir, \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |E \cap \{ 1, \dots , n\}| = \frac 12 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |\pi E \cap \{ 1, \dots , n\}|

Un patrón similar aparece en los otros conjuntos de E \subseteq \Bbb{N}: he comprobado que esto tiene para los conjuntos de la forma E=a\Bbb{N} ( a >1 ) y para el conjunto de los cuadrados perfectos.

Así que mi pregunta es: ¿existe algún teorema acerca de \pi E en la literatura, y es cierto que tiene la misma densidad de E (siempre que éste existe)?

PS: me di cuenta de que cada conjunto finito de la forma E=\{ 1, \dots , n\} es un contraejemplo. De todos modos, tuve conjuntos infinitos en mi mente, así que por favor, considere sólo el caso al E es un conjunto infinito.

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Christian Remling Puntos 4496

Esto es desesperante. Por ejemplo, podemos construir un conjunto E de la densidad de 1/2, de tal manera que \pi E no tiene la densidad de 1/2, como sigue: voy a incluir la mitad de los números en N^2\le n<(N+1)^2E, para cada una de las N\ge 1. A continuación, E tendrá densidad de 1/2, y para esto no importa cuál de los números es exactamente lo que elegir.

Resumen: El procedimiento exacto es un poco tedioso describir, pero la idea es muy simple. Somos libres para determinar qué números exactamente de [N^2, (N+1)^2) a E; el único requisito es que debemos elegir uno de la mitad de ellos. Cada vez que ponemos un nuevo número en E, la función de recuento \pi_E aumenta por 1, y ahora podemos simplemente deliberadamente gastar un montón de tiempo en un valor de \notin E, sólo por negarse a poner nuevos elementos en E durante el mayor tiempo posible.

Permítanme tratar de describir esto un poco más detalladamente. El procedimiento es recursivo, por lo que asumir que E ya ha sido definido por n<N^2.

En N^2\le n< (N+1)^2, vamos a comenzar por poner números en E, hasta \pi_E(n) ha aumentado a un valor que no está en E, si es que la hay (tenga en cuenta que desde \pi_E(N^2)\simeq N^2/2, esto sólo se refiere a la parte de E ya construido). La próxima N números no ir a E, y el resto de [N^2, (N+1)^2)E.

Entonces, por construcción, \pi_E(n)\notin E al menos 1/2 de los números de N^2\le n < (N+1)^2 (desde el intervalo de la constancia de las \pi_E). Por lo \pi E sólo podría tener la densidad de 1/2 si \ge (1-\epsilon)N de los números entre el N^2/2 N^2/2+N E para la mayoría de las grandes N, pero claramente esto contradice el hecho de que E tiene una densidad de 1/2.

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