La densidad de un conjunto de números.

Question

En primer lugar, introducir una notación. $\Bbb{N}$ denota el conjunto de números naturales, $0$ incluido.

Para$E \subseteq \Bbb{N}$$n \in \Bbb{N}$, le denota por $$\pi_E(n) = |E \cap \{ 1, \dots , n\}|$$ y $$\pi E = \pi_E^{-1}(E) = \{ k \in \Bbb{N} : \pi_E(k) \in E\}$$

De ahí, por ejemplo, si $E$ denota el conjunto de los números pares, $\pi E$ denota el conjunto de números que tener un número de menor o igual incluso números. Desde la secuencia de $\{ \pi_E(n) \}_n$ es $$1,1,2,2,3,3,4,4, 5,5,6,6,7,7,8,8 ,\dots$$ tenemos que $\pi E = \{ 2,3,6,7, 10,11, 14,15 \dots\} = \{ n \in \Bbb{N}: n \pmod{4} \in \{ 2,3\}\}$.

Este fue sólo por diversión, pero me di cuenta de que tanto $E$ $\pi E$ han densidad de $1/2$, es decir, $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |E \cap \{ 1, \dots , n\}| = \frac 12 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} |\pi E \cap \{ 1, \dots , n\}|$$

Un patrón similar aparece en los otros conjuntos de $E \subseteq \Bbb{N}$: he comprobado que esto tiene para los conjuntos de la forma $E=a\Bbb{N}$ ( $a >1$ ) y para el conjunto de los cuadrados perfectos.

Así que mi pregunta es: ¿existe algún teorema acerca de $\pi E$ en la literatura, y es cierto que tiene la misma densidad de $E$ (siempre que éste existe)?

PS: me di cuenta de que cada conjunto finito de la forma $E=\{ 1, \dots , n\}$ es un contraejemplo. De todos modos, tuve conjuntos infinitos en mi mente, así que por favor, considere sólo el caso al $E$ es un conjunto infinito.

Answer 1

Esto es desesperante. Por ejemplo, podemos construir un conjunto $E$ de la densidad de $1/2$, de tal manera que $\pi E$ no tiene la densidad de $1/2$, como sigue: voy a incluir la mitad de los números en $N^2\le n<(N+1)^2$$E$, para cada una de las $N\ge 1$. A continuación, $E$ tendrá densidad de $1/2$, y para esto no importa cuál de los números es exactamente lo que elegir.

Resumen: El procedimiento exacto es un poco tedioso describir, pero la idea es muy simple. Somos libres para determinar qué números exactamente de $[N^2, (N+1)^2)$ a $E$; el único requisito es que debemos elegir uno de la mitad de ellos. Cada vez que ponemos un nuevo número en $E$, la función de recuento $\pi_E$ aumenta por $1$, y ahora podemos simplemente deliberadamente gastar un montón de tiempo en un valor de $\notin E$, sólo por negarse a poner nuevos elementos en $E$ durante el mayor tiempo posible.

Permítanme tratar de describir esto un poco más detalladamente. El procedimiento es recursivo, por lo que asumir que $E$ ya ha sido definido por $n<N^2$.

En $N^2\le n< (N+1)^2$, vamos a comenzar por poner números en $E$, hasta $\pi_E(n)$ ha aumentado a un valor que no está en $E$, si es que la hay (tenga en cuenta que desde $\pi_E(N^2)\simeq N^2/2$, esto sólo se refiere a la parte de $E$ ya construido). La próxima $N$ números no ir a $E$, y el resto de $[N^2, (N+1)^2)$$E$.

Entonces, por construcción, $\pi_E(n)\notin E$ al menos $1/2$ de los números de $N^2\le n < (N+1)^2$ (desde el intervalo de la constancia de las $\pi_E$). Por lo $\pi E$ sólo podría tener la densidad de $1/2$ si $\ge (1-\epsilon)N$ de los números entre el $N^2/2$ $N^2/2+N$ $E$ para la mayoría de las grandes $N$, pero claramente esto contradice el hecho de que $E$ tiene una densidad de $1/2$.