Mostrando una secuencia o proceso es positivo martingala

Question

Para $(M_t)_{t\geq0}$ a ser una martingala w.r.t una filtración $\mathcal{F}_t$, se requieren

1. $M_t \in L^1$
2. $E[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s$, $t\geq s$

Si se sabe que $M_t \geq 0$, se hace necesario demostrar la condición 1? O lo hace caer de la condición 2, ya que $$E[M_t] = E[E[M_t \mid \mathcal{F}_0]] = E[M_0] < \infty?$$ Mi preocupación es si la ley de expectativas iteradas vale si no sabemos apriori que $M_t \in L^1$. Relatedly, hay ejemplos de procesos estocásticos donde $M_t \notin L^1$ pero $E[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s$?

Answer 1

Es parte de la definición de la esperanza condicional que $$E[M_t 1_A] = E[E[M_t \mid \mathcal{F}_0] 1_A]$$ para cualquier $A \in \mathcal{F}_0$. Tomando $A = \Omega$ vemos que la ley de expectativas iteradas es una consecuencia inmediata de la definición (sin asumir que $M_t \in L^1$).

Como resultado, si $M_0 \in L^1$ $(M_t)_{t \geq 0}$ satisface la condición $2$ entonces su razonamiento tenemos que $M_t$ es una martingala.

También es bastante fácil ver que existen procesos de $M_t \not \in L^1$ de manera tal que el condicional expectativas existen y $E[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s$. Por ejemplo, supongamos $X$ ser un no-integrable, no negativo de la variable aleatoria y por cada $t \geq 0$, vamos a $\mathcal{F}_t = \sigma(X)$$M_t = X$. Luego nos obviamente $$E[M_t \mid \mathcal{F}_s] = E[X \mid \sigma(X)] = X.$$