¿Cuándo es $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^k}{3^n}$ ¿un número entero?

Question

La motivación para esto era encontrar alguna expresión agradable para la suma

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{P(n)}{b^n}$$

donde $P(n)$ es un polinomio y $b$ es un número entero positivo mayor que 1.

Claramente, basta con encontrar sumas de la forma $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^k}{b^n}$ para un número entero k.

Si ponemos $b=2$ una simple traslación y sustracción de los términos de la serie muestra que $f(k)=\sum_{n=0}^\infty\frac{n^k}{2^n}$ satisface la relación de recurrencia $f(k)=\sum_{i=0}^{k-1}{k \choose i}f(i)$ produciendo la serie $2,2,6,26,...$ ( A076726 en la OEIS).

Si $b>2$ un argumento similar muestra que la recurrencia es $$f(k)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{{k \choose i}f(i)}{b-1}$$

Cuando b=3, la serie es la siguiente:

$\frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{2},\frac{33}{8},15,\frac{273}{4},\frac{1491}{4},\frac{38001}{16},17295,...$

La serie toma valores enteros en lugares extraños; los primeros valores son 4, 8, 12, 13, 16, 20, 24, 32, ... (no en OEIS)

Algunos apuntes no probados sobre las posiciones de los enteros: Suelen ser múltiplos de 4, y la mayoría de los múltiplos de 4 parecen estar en la lista excepto las potencias de 2 menos 4. Todas las potencias de 2 mayores que 2 que he calculado hasta ahora (hasta 1024) son enteros. Los números Impares que toman valores enteros están frecuentemente separados por potencias de 2; si no recuerdo mal, el siguiente número impar después de 13 es 77=13+64.

Curiosamente, parece que hay $no$ valores enteros para $b>3$ .

¿Alguien sabe por qué se producen estos patrones? Aunque sólo sea por eso, sería estupendo disponer de más datos sobre estos valores (los pocos lenguajes de programación que domino no eran capaces de manejar muy bien los números grandes, y he perdido los datos hasta 1024 que solía tener).

Answer 1

Los problemas se reducen a una pregunta bastante simple sobre los números de Bernoulli. Tenemos:

$$ \sum_{n\geq 0}\frac{e^{nx}}{b^n} = \frac{b}{b-e^{x}}\tag{1} $$ por lo tanto: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{n^k}{b^n} = \frac{d^k}{dx^k}\left.\,\frac{b}{b-e^{x}}\right|_{x=0}=\frac{Q_k(b)}{(b-1)^{k+1}}\tag{2}$$ con $Q_k$ siendo un polinomio de grado $k$ con coeficientes enteros.

Para entender cuándo el LHS de $(2)$ tiene alguna posibilidad de ser un número entero, basta con recordar el función generadora de los números de Bernoulli y el Teorema de Von-Staudt-Clausen .