Esto es

Question

He intentado evaluar esta integral:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\exp(1-ix)}{x^2+1}$$ playing by denominator $ x ^ n +1$ , I have accrossed for $ n = 2$ a value is close to $ \ pi$ as shwon here in wolfram alpha , Now my question is to know what is the exact value of that integral ? is it $ \ pi $?

Nota :$i$ es la parte imaginaria de la unidad

Answer 1

Esta integral se puede encontrar usando el teorema de residuos . Podemos cerrar el contorno en el semiplano inferior, ya que$\exp(-iz)$ tiende a cero a medida que la parte imaginaria de$z$ tiende a$-\infty$, dando

PS

Answer 2

Para la mitad inferior del plano, pole $z = -i$, el más largo es el método: $$0 = \int_{\text{low}} \frac{e^{1 - i z}}{z^2 + 1} \, dz = \left(\int_{R} + \int_{-\infty}^{0} + \int_{0}^{-i} + \int_{\gamma} + \int_{-i}^{0} + \int_{0}^{\infty} \right) \frac{e^{1 - i z}}{z^2 + 1} \, dz.$$ La integral de $R$ es el radio exterior como $R \to \infty$ y es igual a cero. La integral de $\gamma$ es el residuo, las integrales de $\int_{0}^{-i} + \int_{-i}^{0}$ suma cero. A partir de este \begin{align} 0 &= \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{1 - ix}}{x^2 + 1} \, dx + 2\pi \, i \lim_{z \to -i} \left\{ \frac{(z + i)}{z^2 + 1} \, e^{1 - i z} \right\} \\ \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{1 - ix}}{x^2 + 1} \, dx &= - 2\pi \, i \lim_{z \to -i} \left\{ \frac{1}{z - i} \, e^{1 - i z} \right\} \end{align} o $$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{1 - ix}}{x^2 + 1} \, dx = \pi.$$

Answer 3

Pensé que sería instructivo para presentar de una forma que los usos reales de análisis y no sólo el análisis complejo. Para ello, vamos a proceder.

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En primer lugar, escribimos

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{1-ix}}{1+x^2}\,dx=2e\int_0^\infty \frac{\cos(x)}{1+x^2}\,dx\tag1$$

En ESTA RESPUESTA y en la Metodología de la $2$ de ESTE, me mostró directamente a través de análisis real sólo que el Coseno de Fourier transformada de $\frac1{1+x^2}$ está dado por

$$\int_0^\infty \frac{\cos(\omega x)}{1+x^2}\,dx=\frac\pi2e^{-|\omega|}\tag2$$

Establecimiento $\omega=1$ $(2)$ y sustituyendo el resultado en $(1)$ se obtiene el resultado

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{1-ix}}{1+x^2}\,dx=\pi $$