pregunta sobre la resolución de las recurrencias

Question

Soy autodidacta de Matemáticas Discretas. Aquí hay una pregunta que debo resolver.

una) $x_{n+1}=2x_{n}+1,x_{1}=2$

Cuando intenté encontrar la solución homogénea para$x_{n+1}=2x_{n}$ encontré$a_{n}=2^{n}$, pero debería ser$a_{n}=2^{n-1}.$ No sé por qué debería poner$a_{1}=1$. ¿Que estoy haciendo mal?

Answer 1

Encontramos una solución de la ecuación homogénea. Su $2^n$ suena bien.
De curso $2^{n-1}$, también se trabaja, para que la materia $2^{n+47}$ está bien también. Pero me gusta $2^n$ mejor, es más fácil de escribir. (Por favor no mira la condición inicial sin embargo, esperar hasta tener la general de la solución de la recurrencia.)

Encontramos una solución para la ecuación no homogénea. Intente una constante de la solución de $k$; nos encontramos con que $-1$ obras.

Por lo que el general de la solución de la recurrencia es $-1+C2^n$ donde $C$ es cualquier constante. Ahora vamos a $x_1=2$. Llegamos $2C-1=2$, lo $C=3/2$. La solución es, por tanto,$-1+(3/2)2^n$.

Podemos reescribir esto como $3\cdot 2^{n-1}-1$. Si se hubiera utilizado $2^{n-1}$ como una solución de la ecuación homogénea, nos gustaría obtener una solución general $-1+D2^{n-1}$, y encontrar que $D=3$. Ninguna diferencia.