¿Cuándo dos objetos se vuelven isomorfos en la categoría estable?

Question

Estoy afraight esto podría ser, obviamente, verdadero o falso, pero de todos modos: Vamos a $({\mathcal A},{\mathcal E})$ ser un Frobenius categoría y $X,Y\in{\mathcal A}$. Si existen proyectiva-inyectiva $P,Q\in{\mathcal A}$ tal que $X\oplus P\cong Y\oplus Q$${\mathcal A}$,$X\simeq Y$$\underline{\mathcal A}$. Hay conversar verdad?

Considerando el caso de $Y=0$ la condición de $X\simeq 0$ $\underline{\mathcal A}$ es equivalente a la existencia de un proyectiva-inyectiva objeto de $P$ y mapas $p: P\to X$, $\sigma: X\to P$ tal que $p\circ\sigma=\text{id}_X$. Por lo tanto si ${\mathcal A}$ es idempotente completa, entonces esto implica que $X$ es un sumando de a$P$, por lo que en sí proyectiva-inyectiva. Cómo se puede proceder en el caso general ?

Answer 1

Supongamos $X$ $Y$ estable isomorfo, por lo que existe una morfismos $f:X\to Y$ cuya imagen $\underline f:X\to Y$ en el establo categoría es un isomorfismo. A continuación, $\underline f$ tiene una inversa: no existe $g:Y\to X$ tal que $\underline g\circ\underline f=1_X$$\underline f\circ\underline g=1_Y$, y esto significa en particular que hay un proyectiva-inyectiva $P$ y mapas de $r:X\to P$ $s:P\to X$ tal que $g\circ f-1_X=s\circ r$.

Esto nos da los mapas de $F=\left(\begin{smallmatrix}f\\\a\end{smallmatrix}\right):X\to Y\oplus P$ $G=\left(\begin{smallmatrix}g&-b\end{smallmatrix}\right):Y\oplus P\to X$ tal que $G\circ F=1\_X$. Si ahora suponemos que $\mathcal A$ tiene todos sus idempotents split, entonces podemos concluir que hay un $Q$ que hay un isomorfismo $H:X\oplus Q\xrightarrow{\cong} Y\oplus P$ tal que $F=H\circ\iota:X\to Y\oplus P$, $\iota:X\to X\oplus Q$ canónica de la mapa.

Observe que $\underline F$ $\underline H$ son isomorphisms en $\underline{\mathcal A}$, por lo que también se $\underline\iota$ es un isomorfismo allí. Si $p:X\oplus Q\to X$ es la proyección, a continuación,$\underline p\circ\underline\iota=1\_X$$\underline{\mathcal A}$, lo que en realidad $(\underline\iota)^{-1}=\underline p$, y, en consecuencia, la composición de la $\iota\circ p:X\oplus Q\to X\oplus Q$ es la identidad de $X\oplus Q$$\underline{\mathcal A}$. En otras palabras, existe un proyectiva-inyectiva $R$ y morfismos $u:X\oplus Q\to R$ $v:R\to X\oplus Q$ tal que $p\circ\iota-1_{X\oplus Q}=v\circ u$.

Ahora si $j:Q\to X\oplus Q$ $q:X\oplus Q\to Q$ son de la canónica de mapas, tenemos $q\circ v\circ u\circ j=-1\_Q$, por lo que los morfismos $\underline{1\_Q}:Q\to Q$ es cero. Esto implica que, de hecho,$Q\cong 0$$\underline{\mathcal A}$. Por lo que mostró en su pregunta, esto implica que $Q$ es un proyectiva-inyectiva en a $\mathcal A$.

En definitiva, nos han demostrado que no existe proyectiva-injectives $P$ $Q$ tal que $X\oplus Q\cong Y\oplus P$$\mathcal A$, tal y como quería.

(No creo que su pregunta tendrá una respuesta positiva al $\mathcal A$ no tiene todos sus idempotents split... no tengo un contraejemplo, a pesar de que)