Mostrar $\underbrace{{111\cdots}1}_{{\small{p-1} \ 1's}}$ es divisible por $p$

Question

¿Cuál es la prueba más corta para demostrar $\underbrace{{111\cdots}1}_{{\small{p-1} \ 1's}}$ es divisible por $p$

Answer 1

$$\underbrace{{111\cdots}1}_{{\small{p-1} \ 1's}} = \frac{10^{p-\small{1}}-1}{9} \equiv 0 \pmod{p}$$

porque por el pequeño teorema de Fermats, ya que gcd $(10,p)=1, 10^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

NOTA: Suponiendo que $p > 5$ . El resultado no es cierto para $p=2, 3$ o $5$ . En todo el entusiasmo para mostrar, me perdí punto importante.

Para $p=2$ obviamente $1$ no es divisible por $2$ - no se sostiene, y $p=3$ , $11$ no es divisible por $3$ y finalmente para $p=5$ gcd $(5,10)=2$ y, por lo tanto, tampoco es cierto ( $1111$ no es divisible por $5$ ).