Producto trigonométrico en un cuarto de círculo: $ \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{2n}+z \right )$

Question

Una bien conocida identidad trigonométrica establece que para todos $z$ : $$ \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{n}+z \right )= \frac {2}{2^{n}} \csc\left (z \right ) \sin\left (nz \right )$$

¿Existe alguna fórmula de este tipo para la cantidad: $$P(n,z)= \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{2n}+z \right )$$

Estoy particularmente interesado en el límite inferior y superior de la proporción $$ \frac {P^2(n, \alpha /n)}{P^2(n, \beta /n)}$$ cuando $n$ se hace grande.

Answer 1

NO ES UNA RESPUESTA COMPLETA: Dudo que exista una forma cerrada agradable. Sin embargo, me he reorganizado un poco, y he encontrado un caso especial en $z=0$ . $$ \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{2n}+z \right )$$ $$= \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi (n-k)}{2n}+z \right )$$ $$= \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi }{2}- \frac { \pi k}{2n}+z \right )$$ $$= \prod_ {k=1}^{n-1} \cos\left ( \frac { \pi k}{2n}-z \right )$$ y así $$ \bigg ( \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{2n}+z \right ) \bigg )^2= \bigg ( \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{2n}+z \right ) \bigg ) \bigg ( \prod_ {k=1}^{n-1} \cos\left ( \frac { \pi k}{2n}-z \right ) \bigg )$$ $$= \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac { \pi k}{2n}+z \right ) \cos\left ( \frac { \pi k}{2n}-z \right )$$ Ahora recuerda la identidad $$ \sin (A+B) \cos (A-B)= \frac { \sin (2A)+ \sin (2B)}{2}$$ para que nuestro producto original sea igual a $$= \sqrt { \prod_ {k=1}^{n-1} \frac { \sin ( \frac { \pi k}{n})+ \sin (2z)}{2}}$$ $$= \sqrt { \frac {1}{2^{n-1}} \prod_ {k=1}^{n-1} \bigg ( \sin\big ( \frac { \pi k}{n} \big )+ \sin (2z) \bigg )}$$ Sí... esto no se va a poner más ordenado. Sin embargo, hay un bonito caso especial en $z=0$ : $$= \sqrt { \frac {1}{2^{n-1}} \prod_ {k=1}^{n-1} \sin\frac { \pi k}{n}}$$ $$= \sqrt { \frac {1}{2^{n-1}} \cdot \frac {n}{2^{n-1}}}$$ $$=2^{1-n} \sqrt {n}$$ Por cierto, esto es lo que dice Wolfram Alpha: