Cardinalidad de la unión de un número contable de conjuntos contables y bien ordenados

Question

Sé que el Axioma de Elección es necesaria para demostrar que la unión de un contable número de contables de conjuntos contables. Sin embargo, lo que si los conjuntos son bien ordenados, es decir, tenemos un particular bien de pedido para cada conjunto. Somos entonces capaces de demostrar que la unión es contable sin que los AoC?

Alguien aquí se menciona sólo podemos mostrar que es en la mayoría de las $\aleph_1$ en lugar de $\aleph_0$, pero no sé si esto es correcto o, si es así, żcómo se podría mostrar que.

Supongamos que $S = \{A_n \,|\, n < \omega\}$ es nuestro sistema contable de conjuntos. Claramente entonces, ya que cada una de las $A_n$ es bien ordenado es isomorfo a un único número ordinal $\alpha_n$ donde obviamente $|\alpha_n| \leq \aleph_0$. Obviamente si $\alpha_n = \omega$ podemos formar una secuencia cuyo rango es de $A_n$, pero el problema es que podría ser que $\alpha_n > \omega$ y siendo el caso de que $\alpha_n$ es contable (por ejemplo, el ordinal $\omega \cdot 2$ es todavía contables). En este caso, no veo cómo podemos elegir una secuencia cuyo rango es de $A_n$, que es lo que tenemos que hacer si el AoC es ser evitado.

De hecho, estoy tratando de probar algo más general: si $S = \{A_\beta\}_{\beta < \aleph_\gamma}$ es un transfinito secuencia de conjuntos ordenados, y cada una de las $A_\beta$ $S$ es en la mayoría de las $\aleph_\gamma$, entonces la unión de $\bigcup_{\beta < \aleph_\gamma} A_\beta$ es también en la mayoría de las $\aleph_\gamma$. Sin embargo, no creo que hay alguna posibilidad de probar esto sin opción si el caso donde $\gamma = 0$ (es decir, el caso de arriba, donde todo está contables) puede ser probado sin elección.

Answer 1

De hecho, es posible que el contable de la unión de contables, bien ordenados los juegos pueden ser innumerables. Lo que se necesita no es específica de un buen orden, sino más bien una inyección en $\omega$, para cada uno de los conjuntos involucrados.

Para tener una idea de lo que está pasando aquí, observe que no hay ningún canónica bijection entre un infinito contable ordinal $\alpha$$\omega$. A pesar de que tenemos un determinado bien-pedido de $\alpha$ a mano, no tienen un "certificado de countability"!

El snappiest manera de describir esta situación es, probablemente:

Esto es consistente con ZF que $\omega_1$ (= el menos incontables ordinal) es singular (= es una unión de countably muchas contables ordinales).

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Ahora sólo he dicho que es consistente; puedo probar ?

Bueno, no en este cuadro de respuesta, por desgracia. La consistencia de las pruebas de la teoría de conjuntos son de disco duro: incluso cuando sólo estamos demostrando coherencia con ZFC, tendemos a la necesidad de forzar, y para interesante violaciones de elección tenemos la más técnica de la simétrico de los submodelos.

Dicho esto, he aquí un par de palabras sobre el tema: un modelo de ZF + "$\omega_1$ es singular" fue producido por Feferman y Levy muy temprano (no recuerdo la fecha exacta). El Feferman-Levy modelo se describe en detalle en un número de lugares, incluyendo Jech el libro sobre el axioma de elección.

En realidad, lo que Feferman-Levy mostró fue que su modelo satisfechos "$\mathbb{R}$ es el contable de la unión de conjuntos contables," pero esto implica que $\omega_1$ es singular: en ZF, podemos mostrar que hay una (muy definido simplemente) surjection $s:\mathbb{R}\rightarrow\omega_1$, por lo que si $\mathbb{R}$ es la unión de countably muchos contable de conjuntos, entonces también lo es $\omega_1$. Ahora vamos a $\omega_1=\bigcup_{i\in\omega} C_i$, donde cada una de las $C_i$ es contable. O $C_i$ es cofinal en $\omega_1$, en caso de que lo hayamos hecho, o la secuencia de $\alpha_i=\sup(C_i)$ es cofinal en $\omega_1$, en cuyo caso también estamos hecho.

Answer 2

También quiero agregar algo que está implícito en los días de Noé respuesta. Definitivamente no es correcto que el contable de la unión de conjuntos contables tiene cardinalidad de a la mayoría de las $\aleph_1$.

Es cierto que si $\bigcup\{A_n\mid n<\omega\}$ puede ser bien ordenado, y en cada una de las $A_n$ es contable, entonces la cardinalidad es en la mayoría de las $\aleph_1$. Pero es ciertamente posible que la cardinalidad es ni siquiera comparable con $\aleph_1$, y si contables que permiten también finito, entonces puede incluso ser Dedekind-infinito.

Lo que es cierto, sin embargo, es que si usted toma cualquier función de una contables de la unión de conjuntos contables a los ordinales, entonces su rango debe tener cardinalidad de a la mayoría de las $\aleph_1$. Porque la imagen de una contables conjunto es contable, y así volvemos al caso de una contables de la unión de conjuntos contables que puede ser bien ordenado (la unión).

Pero espere, aún hay más! Una muy antigua resultado por Douglass B. Morris, indicando lo siguiente es consistente con $\sf ZF$:

Para cada $\alpha$, hay un conjunto $X_\alpha$ que es el contable de la unión de conjuntos contables, de tal manera que $\mathcal P(X_\alpha)$ pueden ser mapeadas a $\omega_\alpha$.

Así que en realidad no hay límite en lo grande, y lo raro, un contable de la unión de conjuntos contables puede ser. O cómo extraño un universo sin opción puede ser.

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Permítanme señalar que está a la derecha sobre el teorema general. Siempre es posible hacer que el sucesor de $\aleph_\gamma$ ha cofinality $\aleph_\gamma$, al menos cuando se $\aleph_\gamma$ es regular. O incluso una contables cofinality si usted prefiere.

El punto clave es que solo estando bien ordenada no es suficiente, uno debe tener un distinguido bijection con el cardenal de sí mismo. Aquí es donde el axioma de elección se utiliza.

Pero de forma similar a los contables del caso, se puede demostrar que la unión de $\aleph_\gamma$ conjuntos de cardinalidad $\aleph_\gamma$, si bien disponible, tiene cardinalidad de a la mayoría de las $\aleph_{\gamma+1}$.