Quería comprobar si esto era una prueba válida para considerar si $\left|x + y \right| \geq \left| x \right| - \left| y \right|$.
Mi prueba es como sigue:
Caso 1: Supongamos $x > 0, y>0$, $(x+y) > 0$ Por lo tanto $$(x+y) > x - y$$
Caso 2: Supongamos $x<0 , y<0$ Por lo tanto, $-(x+y) = (-x) + (-y) = \left| x \right| + \left|y\right|$. $$\left| x \right| + \left| y \right| > \left| x \right| - \left| y \right|$$
Caso 3: Supongamos, sin pérdida de generalidad, donde $x > 0, y < 0$.
subcase: 1 $(x+y)\geq 0$. Por lo tanto, $$\left| x + y \right| = \left| x + y \right| = (x+y) = \left| x \right| - \left| y \right|$$
subcase: 2 $(x+y) < 0$ donde $\left| x + y \right| = -(x+y)$, por lo tanto, $$\left| x \right| + \left| y \right| = x - (-y) < (-x) + (-y) = \left| x + y \right|$$
Sé que esto es una operación relativamente sencilla prueba, pero realmente estoy tratando de trabajar en mis pruebas con números reales que todavía no estoy tan buenos y nos gustaría confirmar que es esto funciona porque parece diferente de la que solo es proporcionada en mis soluciones.
Ayuda es muy apreciada, gracias.
