Estoy tratando de obtener la forma integral de la función de Bessel por la búsqueda de el $k$th coeficiente de la expansión en series de Laurent de la función $f(z) =\exp [\lambda(z-\frac{1}{z})]$. Me las arreglé para llegar a la forma
$ J_k(\lambda) =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2 \pi} e^{i(\lambda \sin\theta - k \theta)} d\theta =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2 \pi} [\cos(\lambda \sin\theta - k \theta) +i\sin(\lambda \sin\theta - k \theta)]d\theta $
Pero, necesito mostrar que esto es equivalente a $ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2 \pi} \cos(\lambda \sin\theta - k \theta)d\theta $. En otras palabras, es necesario demostrar que $ \int_{0}^{2 \pi}\sin(\lambda \sin\theta - k \theta)d\theta =0 $
Pero no puedo averiguar cómo hacerlo. Traté de ampliar el uso de identidades trigonométricas y, a continuación, escrito el pecado y cos como Series de Taylor y la integración término a término, pero no hubo suerte. Lo que me estoy perdiendo?
