Al encontrar tipos especiales de series de potencia.

Question

Deje que$\sum a_n x^n$ sea una serie de poder real con un radio de convergencia positivo finito$R$, entonces es cierto que para cada número real$s>0$, podemos encontrar una secuencia real$\{b_n\}$ ( dependiendo de$s$, por supuesto) tal que$\sum b_n x^n$ tiene un radio de convergencia$s$ y$\sum a_nb_nx^n$ tiene un radio de convergencia$R$?

Además, ¿podemos encontrar una secuencia$\{b_n\}$ tal que$\sum b_nx^n$ converja en todas partes y$\sum a_nb_n x^n$ tenga un radio de convergencia$R$?

Answer 1

Si recuerda cómo se define el radio de convergencia, verá que hay una desigualdad trivial entre el radio de convergencia de$\sum_{n\geq 0} a_n b_n x^n$ y el producto de los radios de convergencia de$\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ y$\sum_{n\geq 0} b_n x^n$.