¿La elección del orden en la regla de Leibniz es arbitraria?

Question

Una de las reglas que caracteriza a la derivada exterior es que, para $\varphi$ una función de valor real y $\omega$ a $k$ -tenemos $$d(\varphi \cdot \omega) = d\varphi \wedge \omega + \varphi \cdot d\omega.$$

Observo que esto no es lo mismo que $\omega \wedge d\varphi + (d \omega)\cdot \varphi$ cuando $k$ es impar, aunque en la expresión $(\varphi \cdot \omega)$ es esencialmente arbitrario qué factor escribimos primero. ¿Es elegir $d(\varphi \cdot \omega) = \omega \wedge d\varphi + \varphi \cdot d\omega$ equivalente a hacer alguna otra elección arbitraria (¿como una elección de orientación?)

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

1. Se puede definir la izquierda y la derecha derivados exteriores $$ d_L(\omega\wedge\eta)~=~(d_L\omega)\wedge\eta + (-1)^{|\omega|}\omega\wedge d_L\eta \tag{L}, $$ $$ d_R(\omega\wedge\eta)~=~(-1)^{|\eta|} (d_R\omega)\wedge\eta + \omega\wedge d_R\eta \tag{R}, $$ $$ d_R\omega~=~(-1)^{|\omega|}d_L \omega, \tag{C}$$ donde $\omega, \eta\in\Omega(M)$ son formas diferenciales de grados de forma definida $|\omega|$ , $|\eta|\in \mathbb{N}_0$ .

2. Aquí $d_L\equiv d$ es la derivada exterior habitual, mientras que $d_R$ es la convención de signos alternativa mencionada por OP.

3. Las fórmulas (L) y (R) son ejemplos de izquierda y derecha derivaciones graduadas .

4. La derivada exterior izquierda $d_L$ sigue la regla del signo de Koszul:
   $$\text{Introduce a sign factor }(-1)^{|a||b|}\text{ when permuting objects }a \text{ and }b.\tag{K}$$ Aquí la derivada exterior $d_L$ tiene grado de forma $|d_L|=1$ .

5. Es posible interpretar el signo en (R) mediante la regla del signo de Koszul (K) si reescribimos (R) en Notación polaca $$ (\omega\wedge\eta)\stackrel{\leftarrow}{d_R}~=~(-1)^{|\eta|} \omega\stackrel{\leftarrow}{d_R}\wedge\eta + \omega\wedge (\eta\stackrel{\leftarrow}{d_R}) \tag{R'}. $$ En este sentido, se puede ver la derivada exterior derecha $d_R$ como actor de la derecha.