Independencia lineal de $1, e^{it}, e^{2it}, \ldots, e^{nit}$

Question

Definición : Dejemos que $C[a,b]$ sea el conjunto de continuos $\mathbb{C}$ -funciones valoradas en un intervalo $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$ con $a < b$ .

Reclamación : En $C[-\pi, \pi]$ los vectores $1, e^{it}, e^{2it}, \ldots, e^{nit}$ son linealmente independientes para cada $n = 1,2, \ldots$

Me cuesta entender por qué esta afirmación es cierta. Entiendo que $C[-\pi, \pi]$ es un espacio vectorial, por lo que el $e^{nit}$ son vectores. Pero no entiendo cómo demostrar que estas funciones son linealmente independientes.

Un enfoque que estaba pensando era dejar que $x = e^{it}$ . Entonces la lista de vectores se parece más a una lista de polinomios: $1,x,x^2, \ldots, x^n$ . Sé que son linealmente independientes. Pero no estoy seguro de que esta sea la forma correcta de pensar en ello.

Referencia: Garcia & Horn Linear Algebra e.g. 1.6.8.

Answer 1

Para la demostración, emplearemos la fórmula de Euler:

$$ e^{i\theta} = \cos{(\theta)} + i\sin{(\theta)}$$

Procedemos por inducción.

Caso base:

El caso base en el que $n = 1$ se deduce fácilmente, ya que si

$$c_0 + c_1e^{it} = 0$$ para todos $t \in [-\pi,\pi]$

entonces para $ t = 0 $ y $t = \pi$ tenemos las dos ecuaciones siguientes:

$$ c_0 + c_1 = 0$$ $$ c_0 - c_1 = 0$$

lo que implica que

$$ c_0 = c_1 = 0 $$

Caso inductivo:

Para el caso inductivo, supongamos que hay escalares $c_0, c_1, \dots, c_n$ tal que

$$ c_0 + c_1e^{it} + \cdots c_ne^{nit} = 0$$ para todos $t \in [-\pi,\pi]$ .

Utilizando la fórmula de Euler y fijando $t = 0$ tenemos

$$c_0 + c_1\sin{(0)} + \cdots + c_n\sin{(0)} = 0$$ así que $$c_0 = 0$$

Así,

$$ c_1e^{it} + c_2e^{2it} + \cdots + c_ne^{nit} = 0 $$

por lo que podemos factorizar $e^{it}$ para conseguir

$$ e^{it}(c_1 + c_2e^{it} + \cdots + c_ne^{(n-1)it}) = 0 $$

y como $e^{it} \ne 0$ para todos $t$ Esto implica

$$c_1 + c_2e^{it} + \cdots + c_ne^{(n-1)it} = 0$$

en cuyo caso empleamos la hipótesis inductiva para obtener

$$ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 $$

y como $c_0 = 0$ también, esto termina la prueba.

Answer 2

He aquí una técnica que utiliza la definición de independencia lineal y una integración sencilla: Supongamos que $$\sum_{k = 0}^n a_k e^{k i t} = 0$$ para algunos $a_0, \ldots, a_n$ . Integración contra $e^{-j i t}$ para $j \in \{0, \ldots, n\}$ da $$0 = \int_0^{2 \pi} \left(\sum_{k = 0}^n a_k e^{k i t}\right) e^{-j i t} dt = \sum_{k = 0}^n a_k \int_0^{2 \pi} e^{(k - j) i t} dt = 2 \pi a_j,$$ por lo que cada $a_j$ es cero.

Answer 3

Supongamos que las funciones

$e^{ikt}, \; 0 \le k \le n, \tag 1$

fueron depende linealmente de $\Bbb C$ entonces tendríamos

$a_k \in \Bbb C, \; 0 \le k \le n, \tag 2$

no todos $0$ con

$\displaystyle \sum_0^n a_k e^{ikt} = 0; \tag 3$

observamos que

$a_k \ne 0 \tag 4$

durante al menos un $k \ge 1$ ya que, en caso contrario, (3) se reduce a

$a_0 \cdot 1 = 0, \; a_0 \ne 0 \Longrightarrow 1 = 0, \tag 5$

un absurdo; por lo tanto, podemos suponer además que

$a_n \ne 0; \tag 6$

también, podemos escribir (3) como

$\displaystyle \sum_0^n a_k (e^{it})^k = 0; \tag 7$

pero (7) es un polinomio de grado $n$ en el $e^{it}$ como tal (por el teorema fundamental del álgebra), tiene como máximo $n$ ceros distintos

$\mu_i \in \Bbb C, 1 \le i \le n; \tag 8$

esto implica además que

$\forall t \in [-\pi, \pi], \; e^{it} \in \{\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n \}, \tag 9$

es decir, $e^{it}$ sólo puede tomar valores en el conjunto finito de ceros de (7); pero esta afirmación es claramente falsa, ya que $e^{it}$ pasa por cada número complejo unimodular como $-\pi \to t \to \pi$ es decir, el rango de $e^{it}$ es incontable. Esta contradicción implica que (3) no puede ser vinculante, y por lo tanto que la $e^{ikt}$ son linealmente independientes sobre $\Bbb C$ en $[-\pi, \pi]$ .

Answer 4

Supongamos lo contrario. Entonces hay $a_0, a_1, \cdots a_n$ que son distintos de cero y para que $$\sum_{k=0}^n a_k e^{ikt} = 0.$$ Consideremos el polinomio $$f(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k = 0.$$ Esta función analítica está mapeando el círculo unitario a cero. Por lo tanto, debe ser la función cero. Contradicción.