Sugerencias de fórmulas / ecuaciones largas y complejas para practicar la memorización (Es mi hobby).

Question

Primero, no soy matemático; Mi hobby es principalmente la memorización. Quiero practicar la memorización de fórmulas matemáticas y / o ecuaciones. De esa manera, estoy buscando fórmulas o ecuaciones grandes y complejas para la práctica de la memorización, nada para objetivos académicos.

Entonces, ¿cuáles son tus sugerencias? ¿Qué fórmula o ecuación crees que es grande y compleja y representa una memorización difícil?

Answer 1

Aquí es muy personal y respuesta parcial.

["Descargo de responsabilidad"] Entre los estudiantes en matemáticas, o las personas que lo hacen, más o menos profesionalmente, matemáticas, usted no podrá encontrar a las personas que dependen en gran medida de la memoria, en comparación con otros dominios como la química, la biología, por no hablar de estudios de medicina... La formación en matemáticas anima a recordar métodos más que los crudos de los resultados bajo la forma de fórmulas.

Además, uno podría construido arbitrariamente untractable e inútil fórmulas matemáticas como se evidencia en la respuesta de @NoChance.

Dicho esto, es útil para confiar en la memoria de resultados útiles, como los de (elegido entre otros) que voy a enumerar (estoy seguro de que cualquier matemático puede considerar como importante) :

$$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \tag{1}$$

$$a^2=b^2+c^2-2bc \cos(A)\tag{2}$$

(generalizada de Pitágoras relación)

$$B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt \tag{3}=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$

(Beta integral : https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function)

$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\tag{4}$$

(complementos de la fórmula)

$$\frac{\partial f}{\partial t}=k \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \tag{5}$$

(Ecuación de difusión : https://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/physik_tp/lectures/ws2016-2017/num_methods_i/heat.pdf)

Estas fórmulas (1) a (5) será, según dos personas diferentes, fácil o no a memorizar, como un todo. Un cierto ritmo, yo diría que una cierta música, o un cierto equilibrio, ayudará a memorizar la fórmula (3) o las fórmulas (4). La fórmula (5) se pueden memorizar como la presentación de una simétrica assymetric aspecto : derivadas parciales en ambos lados, pero de primer orden en un lado y de segundo orden, por el otro ; pero el que uno lo es con respecto a $t$, uno de ellos con respecto a $x$ ?

Una (muy clásico) de la división de existir entre matemáticamente inclinado : se encuentra entre ellos

• visual de la gente (bueno, en particular, en la geometría),

• auditiva de las personas (que prefieren métodos algebraicos, y, en particular, las fórmulas, aquí estamos, incluso si es una simplificación excesiva) y

• kinestésico personas (hasta cierto punto, corresponde a las personas que van a ser impaciente programa de un concepto matemático con el fin de tener una idea sobre ella).

Pero esta distinción puede ser inútil para algunas fórmulas que tienen un aspecto geométrico como

$$\Phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$$

(continua fracción de la descomposición de la proporción áurea).

Ahora, que las fórmulas sería especialy difícil de recordar ? El criterio de la longitud (tomando longitud = número de símbolos) no debería ser considerada como tal. Los principales criterios de dificultad es la falta de conexión inmediata entre LHS y RHS de una fórmula.

En el primer lugar por la dificultad de memorización se Ramanujan fórmulas (como @Félix Marín ha señalado) ; ellos son impresionantes por la inesperada conexión que hacen con muy diferentes partes de las matemáticas (https://faculty.math.illinois.edu/~berndt/artículos/aachen.pdf).

Personalmente, me resulta difícil recordar/recuperar :

• definiciones de fórmulas para funciones especiales , como aquellos que se ocupan de $\theta$ funciones ; un ejemplo de una relación general :

$$\theta_1(x+y|\tau)\theta_1(x-y|\tau)\theta_2(u+v|\tau)\theta_2(u-v|\tau)=\theta_3(y+u|\tau)\theta_3(y-u|\tau)\theta_4(x+v|\tau)\theta_4(x-v|\tau)-\theta_3(x+u|\tau)\theta_3(x-u|\tau)\theta_4(y+v|\tau)\theta_4(y-v|\tau)$$

(https://msp.org/pjm/2009/240-1/pjm-v240-n1-p05-p.pdf), funciones de Bessel, como esto que he estado trabajando recientemente : https://math.stackexchange.com/q/3063945 o definiciones de polinomios ortogonales como asociada polinomios de Legendre,

• especial de matrices o de los determinantes ; dos ejemplos entre muchos : el de Woodbury-Sherman-Morrison fórmula :

$$(1+UV^T)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+V^TA^{-1}U)V^TA^{-1}$$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Sherman%E2%80%93Morrison_formula) y el de Cayley-Menger determinante https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Menger_determinant,

• muchas fórmulas de combinatoria como este llamado "pentagonal número teorema" (establecido por Euler) :

$$\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).$$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_number_theorem) y otros, como el de Euler-MacLaurin fórmula :

$$\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}.$$

Observación : @user295959 menciona la memorización de la primera docena de decimales de los números especiales como $\pi$. Esta memorización puede ser hecho por recordar algunos asociados oraciones con la mnemotecnia (palabras' longitudes = decimales) que uno puede encontrar en https://www.ict4us.com/r.kuijt/en_pi_onthouden.htmpero el OP considera que esta fuera de alcance.

Answer 2

"¿Qué fórmula o ecuación crees que es grande y compleja, y representa difícil memorización?"

Estoy describiendo a continuación los enfoques de la generación de expresiones que parece complejo, pero que podría tener algún tipo de control sobre el nivel de complejidad.

1-Se podría generar expresiones complejas mediante la expansión de $(f(x)+g(x)^n$ aplicando el Teorema del Binomio. el resultado se presenta largo y complicado para valores grandes de n y no trivial de g(x) y f(x).

Por ejemplo, usted podría tratar de $(cos(x)+(x^3+x+1)sin(x))^{10}$.

2-Usted puede intentar la expansión de una función de cualquier complejidad usando series de Taylor. El resultado final será muy largo y en busca de lujo ecuaciones.

3-Multiplicar las funciones de uno a otro, por ejemplo, $(cos(x)+sin(x)+tan(x))(1+x+x^2+...+x^5)$. De nuevo, puede elegir las funciones y producen muy complejo en busca de ecuaciones.

Hay calculadoras que muestran el valor de la anterior, no tiene que manualmente trabajo, no es un montón de diversión!

Referencias:

Wiki-Teorema Del Binomio.

Wiki-Series De Taylor