Calcula

Question

Calcular $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{\sqrt[n] 2+\sqrt[n] 5}{\sqrt[n] 3+\sqrt[n] 6}\right)^n$

Creo que el límite es $0$ porque la base es más pequeña que $1$ , pero la clave de respuesta dice que es $\frac{\sqrt 5}{3}$ .

Answer 1

Denote: $n=\frac 1t$ . Entonces: $$ \begin{align}\lim_{n\to \infty} \left(\frac{\sqrt[n] 2+\sqrt[n] 5}{\sqrt[n] 3+\sqrt[n] 6}\right)^n&=\lim_{t\to 0^+} \left(\frac{2^t+5^t}{3^t+6^t}\right)^{1/t}=\\ &=\lim_{t\to 0^+} \frac 13\left(\frac{2^t+1+5^t-1}{1+2^t}\right)^{1/t}=\\ &=\lim_{t\to 0^+} \frac 13\left(1+\frac{5^t-1}{1+2^t}\right)^{1/t}=\\ &=\lim_{t\to 0^+} \frac 13\exp\left(\frac1{1+2^t}\cdot \frac{5^t-1}{t}\right)=\\ &=\frac13\cdot \exp\left(\frac12\cdot \ln 5\right)=\\ &=\frac13\cdot 5^{1/2}.\end {align} $$

Answer 2

Hacer el problema más general, considerando $$x_n=\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{(a+1)^{\frac{1}{n}}+(b+1)^{\frac{1}{n} }}\right)^n$$ $$\log(x_n)=n \log\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{(a+1)^{\frac{1}{n}}+(b+1)^{\frac{1}{n} }}\right)$$ Ahora, usando la serie de Taylor $$\log\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{(a+1)^{\frac{1}{n}}+(b+1)^{\frac{1}{n} }}\right)=\frac{\log (a)-\log (a+1)+\log (b)-\log (b+1)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$\log(x_n)=\frac{1}{2} (\log (a)-\log (a+1)+\log (b)-\log (b+1))+O\left(\frac{1}{n}\right)$$

$$x_n=e^{\log(x_n)}\simeq\sqrt{\frac{a\,b}{(a+1)(b+1)}}+\cdots$$

Answer 3

Usted puede notar que $$ (\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{5})^n=2(1+\sqrt[n]{5/2})^n \qquad (\sqrt[n]{3}+\sqrt[n]{6})^n=3(1+\sqrt[n]{2})^n $$ así que tiene sentido para calcular $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+a^{1/n}}{1+b^{1/n}}\right)^{\!n} $$ para $a,b>0$. Este es el mismo que el de exp $$ \lim_{t\to0}\frac{\log(1+a^t)-\log(1+b^t)}{t} $$ si este límite existe, existe porque es la derivada en $0$ de $f(t)=\log(1+a^t)-\log(1+b^t)$. Desde $$ f'(t)=\frac{a^t\log}{1+a^t}-\frac{b^t\log b}{1+b^t} $$ tenemos $f'(0)=(\log a-\log b)/2=\log\sqrt{a/b}$. Así $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+a^{1/n}}{1+b^{1/n}}\right)^{\!n}=\sqrt{a/b} $$ y por lo tanto $$ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{5}}{\sqrt[n]{3}+\sqrt[n]{6}} \right)^{\!n}= \frac{2}{3}\sqrt{\frac{5/2}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3} $$