Variables aleatorias independientes y FCD

Question

Dejemos que $X,Y,Z$ son variables aleatorias independientes, tales que $X,Y$ tienen una distribución exponencial con el mismo parámetro $\alpha$ y $Z$ tiene una distribución Bernoulli $P(Z=0)=p$ y $P(Z=1)=1-p$ . Encuentre el CDF $W=\frac{X}{X+YZ}$ .

Mi solución:

$P(W \le t)=P(W \le t \wedge Z=0) + P(W \le t \wedge Z=1)= P(1 \le t \wedge Z=0)+P(\frac{X}{X+Y} \le t \wedge Z=1)=pP(1 \le t)+(1-p)P(\frac{X}{X+Y} \le t)$ .

Para $t<0$ tenemos $0$ .

Para $0 \le t <1$ tenemos $1-p$

Para $t \ge 1$ tenemos $p$ .

¿Lo he hecho bien?

Answer 1

Tu comienzo está bien pero:

Para $0\leq t<1$ no tenemos $1-p$ pero $(1-p)P\left(\frac{X}{X+Y}\leq t\right)$ .

Para $t\geq1$ no tenemos $p$ pero $p\cdot1+(1-p)\cdot1=1$ .

Para ser encontrado es todavía $P\left(\frac{X}{X+Y}\leq t\right)$ para $0\leq t<1$ por lo que su respuesta tampoco es completa.

Answer 2

Supongamos que X e Y son variables aleatorias exponenciales distribuidas independientemente con el parámetro $\alpha$ . Esto significa que $f_{X}(x) = \alpha e^{-\alpha x}$ ¿Cuál es la distribución de $U=\frac{X}{X+Y}$ Así es como se podría proceder. En primer lugar, hay que tener en cuenta que U debe estar entre 0 y 1. Para t(0,1),

$$P(\frac{X}{X+Y}\le t) = P(\frac{X+Y}{X}\ge \frac{1}{t})$$

$$=P(Y\ge x(\frac{1}{t}-1))$$ $$=\int_{0}^{\infty} f_X(x)Pr\left(Y\ge x(\frac{1}{t}-1)\right)$$

$$\int_{0}^{\infty} \alpha e^{-\alpha x} . \left(1-e^{-\alpha. x(\frac{1}{t}-1))}\right) dx$$

$$\int_{0}^{\infty}\left(\alpha e^{-\alpha x} -\alpha e^{\frac{-\alpha x}{t}}\right) = 1-t$$

Ahora su solución es completa como dijo @drhab. Goodluck