Deje $X$ ser un Čech-completar el espacio, y $Y$ un paracompact espacio. Supongamos $f\colon X\to Y$ es un continuo y abierto surjection.
Desde $Y$ es completamente regular tenemos que $\beta(Y)$ es homeomórficos a $Y$ como un subconjunto denso de $\beta Y$ ("Piedra-Čech compactification).
Podemos, si es así, tome $\hat f\colon X\to\beta Y$ define como $\beta\circ f$, como una función continua de $X$ en un compacto Hausdorff espacio.
Por la característica universal de $\beta X$ podemos única extender $\hat f$ a un continuo $\tilde f\colon\beta X\to\beta Y$ tal que $\tilde f|_{\beta(X)} = \hat f\circ\beta$. En particular, $\tilde f$ es a $\beta Y$ debido a dos razones:
- $\tilde f$ es continuo a partir de un dominio compacto, por lo que su imagen está cerrado; y
- $\tilde f$ es en un subconjunto denso de $\beta Y$.
Por lo tanto, es en su cierre, que es $\beta Y$.
Mi pregunta es si o no el hecho de $Y$ es paracompact nos permite ampliar el mapa tal que $\tilde f$ es también un abrir surjection.
(Es la motivación para escribir una prueba para el teorema mencionado en mi pregunta anterior, y un resultado como el anterior podría dar una solución rápida al problema. Independientemente, esta pregunta es muy interesante, en su propio acuerdo)
Editar (Oct. 3º): Si en un par de días más no habrá una respuesta, voy a tratar de cross-posting esta en MathOverflow así.
