Embebido compacto del dominio e inverso compacto.

Question

Tengo varios problemas en la demostración de este punto del problema: consideramos $X$ espacio de Banach y $T: D(T) \to X$ cerrado operador con dominio de $D(T) \subseteq X$. Vamos a ser $T$ delimitada, invertible, y supongamos que la incrustación $(D(T),\|\cdot \|_T) \to (X,\|\cdot\|_X)$ es compacto. Tengo que demostrar que $T^{-1}$ es compacto.

En primer lugar considero que $\|\cdot \|_T$ según el gráfico de la norma. Entonces empecé a pensar que una desenfrenada operador $T$ dominio $D(T)$ es acotado, es invertible si existe un mapa de $T^{-1}$ con la imagen de $D(T)$ e $TT^{-1}x = x$ por cada $x \in X$ e $T^{-1}Tu = u$ por cada $u \in D(T)$.

Pero no tengo ninguna idea de cómo proceder. Podría alguien ayudarme a mostrar la compacidad?

Answer 1

Deje $G=\{(x,Tx)\;|\;x\in D(T)\}\le X\times X$ ser equipado con el gráfico de la norma $\|(x,Tx)\|=\|x\|+\|Tx\|$. Por la suposición de que $G$ es cerrado, $G$ se convierte en un espacio de Banach. Considerar el mapa $$A:G\ni(x,Tx)\mapsto Tx\en X.$$ Then, $$ is a bounded linear surjection. It is also an injection since $Tx=Tx'$ implies $x=x'$. Por lo tanto $$A^{-1}:Tx \mapsto (x,Tx)\in G$$ es un delimitada lineal operador inverso de asignación teorema. Observamos que $$i:G\ni (x,Tx)\mapsto x\in X$$ es compacto por la asunción. Así $$iA^{-1}:X\ni Tx\mapsto x\in X$$ is also compact since it is a product of a bounded linear operator and a compact operator. Compactness of $T^{-1}$ follows from the fact that $T^{-1}y=iA^{-1}y$ for all $s\T(X)=X$.