Ley de Newton del enfriamiento aplicada a la región esférica.

Question

Estoy teniendo problemas para resolver el siguiente problema:

Formular un mathmatical modelo para un estacionario (steady) distribución de la temperatura en el interior del volumen esférico $$ R^2\leq x^2+y^2+z^2\leq (2R)^2, $$ donde $R$ es una constante dada. La región es homogénea y el límite de $x^2+y^2+z^2=R^2$ tiene temperatura constante $T=T_0$. La ley de Newton del enfriamiento describe la temperatura a la que el otro límite de $x^2+y^2+z^2=(2R)^2$ (la componente normal de la difusión del calor es proporcional a la diferencia de los límites de temperatura y la temperatura de la región en el exterior, $T_1$.

He encontrado esta fórmula en la ecuación del calor para una región esférica:

$$ \frac{\partial T}{\partial t}= \frac{\alpha}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)\quad 0<r<r_0, $$

Pero este es un ámbito sin límite interior, así que estoy perdido en cómo aplicar esta fórmula para mi caso. Pero el modelo parece correcto, si estoy en lo correcto esto se deriva de la ecuación de Laplace usando coordenadas esféricas, me corrija si estoy equivocado. O es la ley de Newton en coordenadas esféricas?

Saludos

Answer 1

Esto es algo que podría ser útil. Usted está buscando en una cáscara esférica con radio interior R y radio exterior 2R. La ecuación del calor y la solución se da en la siguiente imagen con control de volumen para derivar también en la imagen. Si usted necesita ayuda en derivtion aquí va:

$$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dT}{dr}\right)=0$$

$$\left(r^2\frac{dT}{dr}\right) = C_1$$

$$\frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$$

$$ T = -\frac{C_1}{r} + C_2$$

Aplicando las condiciones de contorno

$$ T_1 = -\frac{C_1}{R} + C_2$$

$$ T_2 = -\frac{C_1}{2R} + C_2$$

Resolver el algrebraic ecuaciones C_1 = , se obtiene

$$ C_1 = 2R(T_2-T_1)$$

$$C_2 = T_1+ 2(T_2-T_1)$$

$$ T = -2\frac{R}{r}(T_2-T_1) + T_1+2(T_2-T_1)$$

$$T = T_1 + 2(T_2-T_1)\left(1-\frac{R}{r}\right)$$