En $\triangle ABC$ con $AB=AC$ e $\angle BAC=20^\circ$, punto de $D$ es de $AC$, $BC=AD$. Encontrar $\angle DBC$.
Sé que la solución correcta, pero estoy más interesado en dónde está el problema en mi solución.
Mi solución :
Ahora en $\triangle ABD$, aplicando la regla del seno:
$$\frac{AD}{\sin\alpha} = \frac{BD}{\sin 20^\circ} \tag{1}$$
En $\triangle BDC$:
$$\frac{BD}{\sin 80^\circ} = \frac{BC}{\sin(180^\circ-\beta)} \tag{2}$$
Sabemos $AD= BC$; poner en a $(1)$:
$$\frac{BC}{\sin\alpha} = \frac{BD}{\sin 20^\circ} \tag{3}$$
Comparando $(2)$ e $(3)$:
$$\frac{BC}{BD} = \frac{\sin\alpha}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin(180^\circ-\beta)}{\sin 80^\circ} \tag{4}$$
$$\frac{\sin \alpha}{\sin(180^\circ-\beta)} = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 80^\circ} \tag{5}$$
Ahora, $\alpha = 20^\circ$ e $\beta = 100^\circ$, pero cuando me conecte estos valores en $\triangle ABC$, ni siquiera triángulo. oO
Dónde me he equivocado? Gracias.
PS : lo siento por la mala edición, no tengo ninguna pista.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Así que tenemos que $\frac{\sin \alpha}{\sin (180-\beta)} = \frac{\sin 20}{\sin 80}$.
La primera cosa que debemos usar es que $\alpha + \beta = 160$ desde el triángulo $ABD$. A partir de aquí, $180 - \beta = 180 - (160-\alpha) = 20 + \alpha$.
A continuación, se nos tenga en cuenta que: $$ \frac{\pecado 20}{\pecado 80} = \frac{\pecado 20}{\cos(90-80)} = \frac{\pecado 20}{\cos 10} = \frac{2 \pecado 10 \cos 10} {\cos 10} = 2 \sin 10 $$
Por lo tanto, tenemos la ecuación : $$ \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + 20)} = 2 \pecado 10\\ \implica \sin \alpha = 2 \pecado 10 \sin (20+\alpha) = 2 \pecado 10 \pecado 20 \cos \alpha + 2 \pecado 10 \cos 20 \sin \alpha $$
Ahora, la recopilación de términos de $\sin \alpha$ por un lado, y facctorizing, $$ \sin \alpha(1 - 2 \pecado 10 \cos 20) = 2 \pecado 10 \pecado 20 \cos \alpha \\ \implica \tan \alpha = \frac{2 \pecado 10 \pecado 20}{1 - 2 \pecado 10 \cos 20} $$
El lado derecho es un número fijo que tenemos que encontrar.
Para ello, en primer lugar simplificar el denominador, utilizando las fórmulas : $$2 \sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \quad ; \quad \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
También usaremos el hecho de que $\sin 30 = \frac 12$. En nuestro caso, $$ 1 - 2 \pecado 10 \cos 20 = 1- (\pecado 30 + \sin (-10)) = 2 \pecado 30 - (\pecado 30 - \pecado 10) \\ = \pecado 30 +\sin 10 = 2 \pecado 20 \cos 10 $$
Por lo tanto, $$ \tan \alpha = \frac{2 \pecado 10 \pecado 20}{1 - 2 \pecado 10 \cos 20} = \frac{2\pecado 10 \pecado 20}{2 \cos 10 \pecado 20} = \bronceado 10 $$
Ahora, desde la $0 < \alpha < 180$, obtenemos que $\alpha = 10$. A partir de aquí, $80-\alpha = 70$ es el ángulo deseado.
