$E$ es un resumen topológica del espacio. Es decir, como un conjunto $E = \{x_0,x_1,x_2,...\}$, y la topología en $E$ es tal que $x_n \to x_0$ en la topología de $E$. En otras palabras, los bloques abiertos de la topología en $E$ asegurarse de que $x_i, i>0$ son discretos puntos de $E$, y que $x_0$ es el único punto límite.
Una manera de darse cuenta de $E$, es mirarlo como un subconjunto de otro espacio topológico, por ejemplo, $E = \{0\} \cup \{\frac 1n : n \in \mathbb N\}$ como un subconjunto de a$\mathbb R$ califica. ¿Cuáles son los bloques abiertos de $E$ como un espacio topológico? Por definición de la topología de subespacio, cualquier conjunto abierto de $E$ es un conjunto abierto de $\mathbb R$ cruzaba con $E$. Esto le da una descripción de una base de abiertos se pone en $E$ : cada una de las $\{x_i\}$ es un conjunto abierto en $E$ para $i > 0$, y cada una de las $\{0\} \cup \{\frac 1n : n \geq k\}$ es un conjunto abierto en torno a cero.
Algo similar ocurre en el caso general. Más precisamente, $E$ es un primer contables espacio, debido a que cada punto tiene una contables de base local. En este caso, se sabe que la continuidad y la continuidad secuencial son uno y el mismo, es decir, si queremos demostrar que una función es continua en $E$, entonces no necesitamos mirar a abrir establece : será suficiente para demostrar que si $y_n \to y$ en $E$, a continuación, $f(y_n) \to f(y)$ . Esto no será cierto si $E$ no fueron primera contables. (Desde $\mathbb R$ es la primera contables, esto equivale a lo que se conoce como el "secuencial definición de continuidad" en la recta real).
Sin embargo, en $E$ sólo hay una no-trivial ejemplo de una secuencia convergente (el resto son constantes secuencias o una modificación/larga de esta secuencia), es decir, $x_n \to x_0$. Por lo tanto, será suficiente para mostrar la $f(x_n) \to f(x_0)$ para la continuidad de la $f$ a $E$.
$f_i,g$ son funciones definidas en $E$. Para mostrar que son continuas en a$E$, sólo tenemos que mostrar la secuencia de definición de la convergencia, como he mencionado anteriormente.
Entonces, ¿por qué es $f_i$ continua? Tenemos que comprobar que $f_i(x_n) \to f_i(x_0)$, o que $\sum_{j=1}^n a_{ij} \to \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij}$. Sin embargo, la serie de $\sum_{j=1}^\infty a_{ij}$ es absolutamente convergente, esto es lo $(12)$ está diciendo. Recordemos que esto significa que $\sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}| \to 0$ como $n \to \infty$. Sin embargo, por la desigualdad de triángulo , $\left|\sum_{j=n+1}^\infty a_{ij}\right| \leq \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|$, por lo que si el lado derecho se va a cero, como se $n \to \infty$, por lo que debe el lado izquierdo. Deducir de esto que el $f_i(x_n) \to f_i(x_0)$.
$g$ es uniformemente convergente suma de funciones continuas, por lo tanto continuo (consulte el teorema dado en Rudin la explicación).
En la secuencia de las igualdades al final, parece que todo está siguiendo a partir de las definiciones de $f_i,g$ y su continuidad, excepto por la siguiente declaración :
$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^n a_{ij} =\color{red}{ \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty a_{ij}}
$$
la polémica es que el lado derecho no existe a priori. De hecho, lo Rudin se supone trivial, la conmutación de un infinito y finito, suma, requiere un poco de trabajo.
Supongamos que se demuestra que para cada una de las $n$, tenemos $\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty a_{ij} = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^n a_{ij}$, entonces la afirmación anterior sería, obviamente, seguir. Sabemos que el lado derecho es igual a $g(x_n)$. Tenemos que mostrar el lado izquierdo es igual a $g(x_n)$.
Esto se deduce del hecho de que $$\sum_{i=1}^\infty a_{iJ} = \sum_{i=1}^\infty \left(\sum_{j=1}^J a_{ij} - \sum_{j=1}^{J-1} a_{ij}\right) = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^J a_{ij} - \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^{J-1} a_{ij} = g(x_{J}) - g(x_{J-1})$$
(e igual a $g(x_1)$ si $J=1$). Por lo tanto, el lado izquierdo es:
$$
\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty a_{ij} = g(x_1) + \sum_{j=2}^n (g(x_j) - g(x_{j-1})) = g(x_n)
$$
Por supuesto, desde la $\lim_{n \to \infty} g(x_n)$ existe y es igual a $g(x_0)$, la pregunta sobre el límite existente es también respondió. Finalmente, la prueba se ha completado.
