Evitar la elección al probar "La compacidad secuencial implica el Lema del Número de Lebesgue"

Question

El estándar de prueba se puede encontrar en ProofWiki. De lo que se muestra en que, se usa el Axioma de Contables de Elección al momento de elegir el subsequence $\{x_n\}$ para producir una contradicción. Y normalmente, a medida que descubro, cuando algunos de los casos de CA se utiliza en ProofWiki, se comentó en la parte inferior de la página. Así que esto me lleva a la pregunta de si AC es de hecho necesaria aquí. Por favor, ofrecer algunas aclaraciones. Gracias de antemano.

Contexto: Este es un paso en la demostración de "la compacidad secuencial implica la compacidad de las métricas de los espacios". Sé que debe de uso de la red en un momento determinado, sino que está aquí?

Answer 1

No realmente, si usted insiste en la compacidad secuencial.

Supongamos que $A$ es un infinito Dedekind-conjunto finito de números reales. Es fácil mostrar que $A$ no está cerrado, por lo tanto, no compacto. Por desgracia, $A$ es secuencialmente compacto, ya que cada secuencia sólo puede tener un número finito de valores, y por lo tanto tiene un convergentes larga.

Supongamos que $A$ es un subconjunto denso de $(0,1)$. Desde $(0,1)$ puede ser cubierto por casi distintos intervalos de tamaño arbitrariamente pequeño (es decir, una apertura de la tapa sin un número de Lebesgue), de esta forma se define una cubierta de abrir los intervalos de $A$ sin un número de Lebesgue. De hecho, esto puede ser incluso una contables de la secuencia de intervalos (el punto crucial aquí es que los puntos medios de los intervalos no son en $A$, por lo que no se puede utilizar para definir una contables subconjunto de $A$).

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La pregunta interesante, a la que no tengo una respuesta con la mano, es lo que ocurre cuando asumimos la compacidad, en lugar de compacidad secuencial. En la superficie, parece que se debe trabajar. Pero también es aparentemente lo que requiere que el contable de la unión finita de conjuntos es contable, que a su vez necesita un poco de elección.