Igualdad relativa a la norma de las filas de una matriz resolvente.

Question

Este problema apareció en el examen básico de la UCLA para el otoño de 2018:

Dejemos que $X$ ser un $n \times n$ matriz simétrica (real) y $z \in \mathbb{C}$ con $\text{Im } z > 0$ . Definir $G = (X - zI)^{-1}.$ Demuestra que $$\sum_{1 \leq j \leq n} |G_{ij}|^2 = \frac{\text{Im } G_{ii}}{\text{Im }z}.$$

Trabajé en esto un poco donde apliqué el teorema espectral real a $X$ que a su vez le da ese $G = Q^T D Q$ donde $Q$ es ortogonal real ( $Q^T Q = Q Q^T = I$ ) y $D$ es diagonal y satisface $D_{ii} = (\lambda_i - z)^{-1}$ . Donde $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ son los valores propios de $X$ . No pude ver ninguna salida inmediata a partir de ahí. Me interesaría ver las soluciones de la gente a este problema y cualquier conexión con el estudio de las matrices de resolución: https://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_formalism

Answer 1

Al considerar $\tilde{X}=X-\text{Re}(z)I$ en lugar de $X$ podemos suponer que $z=\mu i$ para algunos $\mu>0$ . Ahora observe que $$ (X-\mu iI)(X+\mu iI) = X^2+\mu^2 I>0. $$ Esto da $$ G=(X-\mu iI)^{-1}=(X^2+\mu^2 I)^{-1}(X+\mu iI). $$ Dejemos que $e_i$ sea el vector cuyo $i$ -La coordenada número 1 es $1$ y otras coordenadas son todas $0$ 's. Podemos observar que $$\begin{eqnarray} G_{ii}=e_i'Ge_i&=&e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}(X+\mu iI)e_i\\&=&e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}Xe_i+i\mu \cdot e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}e_i \end{eqnarray}$$ y por lo tanto $$ \text{Im}(G_{ii})=\mu\cdot e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}e_i. $$ Esto da $$ \frac{\text{Im}(G_{ii})}{\text{Im}( z)}=\frac{\mu\cdot e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}e_i}{\mu}= e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}e_i. $$ También podemos ver que $$ GG^*=(X-\mu iI)^{-1}(X+\mu iI)^{-1}=(X^2+\mu^2 I)^{-1} $$ y $\sum_{j=1}^n |G_{ij}|^2$ puede representarse como $$ \sum_{j=1}^n |G_{ij}|^2 =|G^*e_i|^2=e_i'GG^*e_i. $$ Por lo tanto, se deduce que $$ \sum_{j=1}^n |G_{ij}|^2 =e_i'GG^*e_i=e_i'(X^2+\mu^2 I)^{-1}e_i=\frac{\text{Im}(G_{ii})}{\text{Im}( z)}. $$ Esto demuestra el resultado deseado.

Nota: $e_i'$ significa la transposición de $e_i$ y $G^*$ significa la transposición conjugada de $G$ .

Answer 2

He aquí una solución alternativa:

En primer lugar, observamos que $(GG^*)_{ii} = \sum_{j = 1}^n |G_{ij}|^2$ . Así, nuestra afirmación se reduce a mostrar que $$(GG^*)_{ii} = \frac{\text{Im } G_{ii}}{\text{Im }z} \iff \text{Im }[(zG^*G)_{ii}] = \text{Im }G_{ii}.$$ Bueno $$G = (X - zI)^{-1} \implies G(X - zI) = I \implies GXG^* - zGG^* = G^* \implies GXG^* - G^* = zGG^*$$ Así, $$\text{Im }[(zGG^*)_{ii}] = \text{Im }[(GXG^* - G^*)_{ii}] = \text{Im }[(GXG^*)_{ii}] + \text{Im }[(-G^*)_{ii}] = \text{Im }[(GXG^*)_{ii}] + \text{Im }[G_{ii}].$$ Bien, entonces nos damos cuenta de que como $GXG^*$ es autoadjunto que $$(GXG^*)_{ii} = e_i^*GXG^*e_i = \langle GXG^*e_i, e_i\rangle \in \mathbb{R}$$ donde $e_i$ sea el $i$ El vector de base estándar, es decir, el vector que contiene todos los ceros excepto un uno en el $i$ de los componentes. Así, $$\text{Im }[(zGG^*)_{ii}] = \text{Im }[(GXG^*)_{ii}] + \text{Im }[G_{ii}] = \text{Im }[G_{ii}]$$ como se desee.