Demuestre que$U=Y - E[Y|X]$ y$X$ no están correlacionados

Question

Deje $U = Y - E[Y|X]$ . ¿Cómo puedo probar que $U$ y $X$ no están correlacionados?

He estado haciendo muchas cosas pero cuando calculo $\text{cov}(U,X)$ termino con $EXY - EXEY$ y no $0$, lo cual sería el resultado.

Alguna ayuda, chicos?

Gracias

Answer 1

Sugerencias:

1. Compruebe que $E(X Y \mid X) = X E(Y \mid X)$.
2. El uso de la torre de propiedades de la esperanza condicional para mostrar que $$ E(Y) = E \big[ E(Y \mid X) \big].$$
3. A la conclusión del Paso 2 $E(U)=0$.
4. Utilice el Paso 1+2 y el linarity de la expectativa de probar que $$E(UX) = 0.$$
5. La combinación de los pasos 3 y 4 rendimientos $$E(UX) = E(U) E(X),$$ i.e. $U$ and $X$ no están correlacionados.

Nota: Usted necesitará un poco de integrabilidad de las condiciones en $X$ e $Y$ a asegurarse de que el (condicional) las expectativas y la covarianza son bien definidos.

Answer 2

Yo te daré la idea y la intuición, y usted será capaz de obtener el resto fácilmente.

Como se sabe, $ \mathbb{E} \left[ Y \mid X \right] $ es el mejor estimador de $ Y $ da $ X $ en el MMSE sentido.

Ya que es la mejor estimador en MMSE sentido obedece el Principio de Ortogonalidad.

Sólo se derivan de esos y obtendrá la respuesta, ya que el término en su pregunta es la estimación de error que, de acuerdo a la Orthognality Principio, no se correlaciona con los datos.

Answer 3

$$E[XU] = E[X(Y - E[Y|X])] = E[XY - XE[Y|X]] = E[XY] - E[XE[Y|X]]$$

Debido a $X$ es una función de $X$, podemos sacar $X$: $XE[Y|X] = E[XY|X]$. A continuación, $E[XE[Y|X]] = E[E[XY|X]]$, por lo que

$$E[XU] = E[XY] - E[E[XY|X]]$$

A continuación, $E[E[XY|X]] = E[XY]$. Usted puede decir esto se deduce de la torre de la propiedad, pero simplemente se puede decir que este es el total de expectativa. Finalmente

$$E[XU] = E[XY] - E[XY] = 0$$