Colección: Resultados de los tiempos de parada para el movimiento browniano (con deriva)

Question

El objetivo de esta pregunta es recoger los resultados en los tiempos de parada de movimiento Browniano (posiblemente con la deriva), con un enfoque en la distribución de las propiedades:

• las distribuciones de los tiempos de parada (la transformada de Laplace, momentos,..)
• la distribución de las propiedades del proceso detenido (computación/finitud de los momentos, ...)

Muchos de los resultados, lo que tengo en mente, son los típicos problemas de la tarea.

¿Cuál es la motivación para una colección?

Hay un número de "clásica" de los tiempos de parada para el movimiento Browniano, pero lamentablemente estos tiempos de parada no tiene un nombre específico (aparte de "tiempo de salida", "golpear a tiempo", ... - que es también no muy específico), y esto hace que sea difícil encontrar resultados aquí en StackExchange. A veces, cuando estoy buscando un resultado, sé que está en algún lugar aquí en el MSE, pero yo no soy, simplemente, capaz de encontrarlo. Para otras preguntas, que son frecuentes muy frecuentes en el MSE, a menudo es difícil encontrar un buen "viejo" como respuesta.

En cualquier caso, yo creo que sería un beneficio de hacer que el conocimiento de más fácil acceso tanto para los estudiantes que están tratando de resolver sus problemas de la tarea) como para los "maestros" (que responder a preguntas sobre el MSE).

Para hacer esta lista una herramienta útil (por ejemplo, para responder a las preguntas) por favor, asegúrese de dar una breve pero concisa descripción de cada uno de los resultados que usted en su respuesta.

Answer 1

A continuación, $(X_t)_{t \geq 0}$ es un movimiento Browniano (BM) o un movimiento Browniano con deriva. Para cada uno de los artículos en mi lista voy a indicar para que el proceso de la correspondiente resultado se obtuvo.

$\tau := \inf\{t \geq 0; X_t = a\}$ para $a>0$.

Nota: Tenemos $\tau=\inf\{t \geq 0; X_t \geq a\}$ si $(X_t)_{t \geq 0}$ es un BM.

• (BM) $\mathbb{P}(\tau<\infty)=1$ (a través de la martingala métodos)
• (BM con no deriva negativa) $\mathbb{P}(\tau<\infty)=1$ (a través de la ley del logaritmo iterado)
• (BM con la deriva negativa) Cálculo de $\mathbb{P}(\tau<\infty)$
• (BM) $\mathbb{E}\tau = \infty$
• (BM con la deriva) de densidad de la distribución de $\tau$
• (BM con el positivo de la deriva) la transformada de Laplace de $\tau$

$\tau= \inf\{t \geq 0; X_t \notin [a,b]\}$

• (BM), la Distribución de $X_{\tau}$
• (BM), el Cálculo de $\mathbb{E}(\tau)$ (ver esta pregunta para BM comenzó a $X_0=x$)
• (BM), el Cálculo de $\mathbb{E}(\tau^2)$
• (BM) $\mathbb{E}(\tau^p) < \infty$ para todos los $p \geq 1$
• (BM; $a=b$) la transformada de Laplace de $\tau$ (ver también esta pregunta)

Golpear a veces para algunas curvas

• (BM) $\mathbb{E}\tau=\infty$ para $\tau := \inf\{t; B_t^2 \geq 1+t\}$ (ver también esta pregunta)
• (BM) $\mathbb{E}(\tau) =\tfrac{1}{2}$ para $\tau = \inf\{t; B_t^2 = 1-t\}$
• (BM) $\mathbb{E}\tau<\infty$ para $\tau:=\inf\{t; |B_t| = \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1+t})\}$
• (BM) $\mathbb{E}(\tau)=\infty$ para $\tau=\inf\{t; B_t \geq e^{-\lambda t}\}$

Miscelánea

• (BM) $\tau=\inf\{t \geq 0; X_t \notin (a,b)\}$ no es un tiempo de paro con respecto a la canocical de filtración
• (BM), la Prueba de Wald de la identidad