¿Cuál es la probabilidad de que un primo racional permanezca primo en$\textbf Z[i,\sqrt{-3}]$?

Question

Usando el teorema de densidad de Chebotarev, asintóticamente, ¿cuál es la probabilidad de que un primo racional permanezca primo en $\textbf Z[i, \sqrt{-3}]$ ?

Answer 1

Si te refieres a $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_{12})}$, el anillo de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\zeta_{12})$ (ver su página en la LMFDB), entonces la respuesta es que no prime de $\mathbb{Z}$ sigue siendo el primer en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_{12})}$.

El intermedio campos se $\mathbb{Q}(i)$, $\mathbb{Q}(\omega)$ e $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Para un alojamiento de $\mathbb{Z}$ a ser el primer en tanto $\mathbb{Q}(\omega)$ e $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, debe ser $p \equiv 5 \bmod 12$. Pero entonces esto significa que $p \equiv 1 \bmod 4$ y sabes lo que eso significa para $\mathbb{Z}[i]$...

P. S. Una Naiade descubrió el teorema de densidad de doce siglos antes de Chebotarev.

Answer 2

Una propiedad importante de un anillo de $R$ es que si $a$ e $b$ son números, entonces, $a + b$ e $ab$ también están en $R$.

Claramente $i + \sqrt{-3}$ es en este anillo que usted está mirando. Gran cosa, a nadie le importa. La multiplicación es un poco más productivas (perdón por el juego de palabras) en este caso: $$i \sqrt{-3} = \sqrt{-1} \sqrt{-3} = \sqrt{-1 \times -3} = \sqrt 3.$$

Si tuviera la más mínima duda de que 3 ramifies en este anillo, no dudes más ahora.

A continuación, 5 divisiones en la cuenta de $(2 - i)(2 + i)$, y 7 divisiones en la cuenta de $(2 - \sqrt{-3})(2 + \sqrt{-3})$, o, si se prefiere, $$\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{-3}}{2}\right)\left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\right).$$

Siguiente, el 11 es un poco más complicado: se divide en la cuenta de $(1 - 2 \sqrt 3)(1 + 2 \sqrt 3) = -11$. O acerca de cómo $(8 - 5 \sqrt 3)(8 + 5 \sqrt 3)$? Que también es igual a $-11$. Si eso es aceptable para usted, nos puede pasar.

En realidad, que es donde me voy a tener que dejarlo en para esta noche...

Answer 3

Basado en los resultados de Euler y Chebotarev densidad del teorema, tenemos que, asintóticamente:

i) la mitad de todos racional de los números primos dividir en $Z[i]$, y estos son los números primos $p = 1$ mod $4$. Vamos a llamar a este conjunto de $Split(Z[i])$ y,

ii) la mitad de todos racional de los números primos dividir en $Z[\sqrt{-3}]$, y estos son los números primos $p = 1$ mod $3$. Vamos a llamar a este conjunto de $Split(Z[\sqrt{-3}])$

Por lo tanto, el aprovechamiento racional de los números primos que dividen en $Z[i,\sqrt{-3}]$ son de la unión de $Split(Z[i])$ e $Split(Z[\sqrt{-3}])$. Tenemos entonces, por un conjunto de reglas, que:

$Split(Z[i,\sqrt{-3}]) = Union$ ($Split(Z[i])$,$Split(Z[\sqrt{-3}])$) := {los números primos| $p = 1$ mod $4$ O $p = 1$ mod $3$}.

Y el aprovechamiento racional de los números primos que permanecen inertes en este ring $Inert(Z[i,\sqrt{-3}])]$ están en el complemento del conjunto a$C[Split(Z[i,\sqrt{-3}])]$, y por un conjunto de reglas:

$Inert(Z[i,\sqrt{-3}])]$ ⊊ $C[Split(Z[i,\sqrt{-3}])] = C[Union (Split(Z[i]),Split(Z[\sqrt{-3}]))] :=$ {primos | NO ( $p = 1$ mod $4$ O $p = 1$ mod $3$) } = {los números primos| NO ($p = 1$ mod $4)$ E NO ($p = 1$ mod $3$) } = {2,3,los números primos| $p = 3$ mod $4$ E $p = 2$ mod $3$ }

Finalmente, por Chebotarev del teorema de densidad de probabilidad y reglas, asintóticamente, la probabilidad de $P$ que un primer $p = 3$ mod $4$ E $p = 2$ mod $3$ es igual al producto de las probabilidades de cada estado:

$P$ (prime $p = 3$ mod $4$ E $p = 2$ mod $3$) = $P$ (prime $p = 3$ mod $4$) * $P$ (prime $p = 2$ mod $3$) = $1/2 * 1/2 = 1/4$

Puesto que los números primos que se ramifican en $(Z[i,\sqrt{-3}])$ forma un conjunto finito, tenemos que $P(p$ es inerte en $Z[i,\sqrt{-3}]$)=$P(p$ no dividida en $Z[i,\sqrt{-3}]$), por lo tanto, $1/4$ de todos racional de los números primos siendo el primer en $Z[i,\sqrt{-3}]$