Si $E$ es un Banach (complejo) y $E^*$ es doble, ¿es cada límite $T:E^*\rightarrow E^*$ un adjunto? Estoy más interesado en cuando $T$ es un automorfismo.
Si no, ¿es $\{T: E^*\rightarrow E^* \ | \ \mbox{T is an adjoint}\}$ denso en $B(E^*)$ ?
¡Gracias por adelantado!
Lineal en el mapa de $T\in B(E^*)$ es de la forma $T=S^*$ para algunos $S\in B(E)$ si sólo si $T$ es débil$^*$-a-débiles$^*$ continua.
De hecho, la implicación inversa es fácil tomar una débil$^*$-convergente neto $(x_\gamma^*)$, y muestran que la $(Tx_\gamma^*)$ es débil$^*$-convergente). Para la implicación, para cada una de las $x\in X$, el mapa de $E^*\to\mathbb C$ dado por $x^*\mapsto \langle Tx^*,x\rangle$ es un débiles$^*$-lineal continua y funcional, donde hay algunos $Sx\in E$ tal que $\langle Tx^*,x\rangle=\langle x^*,Sx\rangle$ para todos los $x^*\in E^*$. Mostrando que el mapa de $S:x\mapsto Sx$ es de $B(E)$ e $S^*=T$ no es muy difícil (el ex de la siguiente manera a partir de la cerrada teorema de la gráfica, y el último es la construcción).
En cuanto a la pregunta acerca de la densidad, no soy consciente de ninguna de resultados generales. Si $E$ es reflexiva, a continuación, $\{T: E^*\rightarrow E^* \ \mid \ T\mbox{ is an adjoint}\}=B(E^*)$, pero hay algo raro espacios de Banach, y me imagino que existen contraejemplos.
EDITAR Nota de que el adjunto mapa de $B(E)\to B(E^*)$, $T\mapsto T^*$ es una isometría, donde la imagen está cerrado. Por lo tanto, para mostrar que la imagen de $B(E)$ bajo el adjunto mapa no es densa, es suficiente para mostrar que hay un elemento de $ B(E^*)$ que no es un adjunto. Un ejemplo de un operador siempre los comentarios tras la respuesta a esta pregunta.
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