Encuentre un punto$X$, en el plano del pentágono regular$ABCDE$, que minimiza$\frac{XA+XB}{XC+XD+XE}$.

Question

Encuentre tal punto $X$ , en el plano del pentágono regular $ABCDE$ , que el valor de la expresión $$\frac{XA+XB}{XC+XD+XE}$ $ es el más bajo.

Intenté usar el teorema de Ptolomeo pero no sé cómo hacer uso de las desigualdades que proporciona.

Estaría muy agradecido por cualquier ayuda :)

Answer 1

Utilizamos Ptolomy desigualdades arbitrarias cuadrilátero $PRQS$ tenemos: $$PQ\cdot RS \leq PR\cdot QS+PS\cdot RQ$$

Deje $AB = s$ e $AC=m$ e $XA =a$, $XB =b$... Ahora vamos a utilizar esta desigualdad en $3$ diferentes cuadriláteros:

$\bullet$ $AXBE$: $$ es\leq bs+am$$

$\bullet$ $AXBC$: $$ cs\leq as+bm$$

$\bullet$ $AXBD$: $$ ds\leq am+bm$$

La adición de estos tres obtenemos $$ s(c+d+e)\leq (a+b)(2m+s)$$so we have $$ {s\over 2m+s}\leq {a+b\over c+d+e}$$

Por lo que su expresión es siempre $\geq {s\over 2m+s}$ y este valor se logra si la ponemos a $X=A$ o $X=B$ o en cualquier punto del arco entre $AB$ sobre la circunferencia circunscrita por $ABCDE$ (Recordar que la igualdad es verdadera si todas las desigualdades va a igualdades y es que si $AXBC$, $AXBD$ e $AXBE$ son cíclicos con que el orden de los puntos en el círculo).

Answer 2

Lo que sigue no es una solución (un excelente ha sido dada por @greedoid) pero una heurística del método que proporciona una eficiente ángulo de ataque de este lugar y de los loci de el mismo "sabor". Esta presentación tiene un handwaving lado, pero creo que este tipo de razonamiento intuitivo puede tener algún interés, en particular para los estudiantes en matemáticas con el fin de transmitir el espíritu de los descubridores del cálculo infinitesimal.

Vamos a :

$$q(X):=\frac{n(X)}{d(X)}, \ \ \ \text{with}$$

$$n(X):=XA+XB \ \text{and } $$

$$d(X):=XC+XD+XE$$

Comentario : $\lim q(X)=\frac23$ cuando $\|\overrightarrow{OX}\|$ tiende a $\infty$.

Considere la figura $1$ que representa a algunas de las líneas de contorno de las funciones de $n$ (en azul) y $d$ (en rojo) :

Fig. 1. : Para cada punto de $X$ en el plano que se adjunta dos curvas, una roja y una azul, dando el lugar geométrico de los puntos que tienen resp. el mismo numerador $n(X)$ y el mismo denominador $d(X)$. Uno no debería ser surprized que el azul curvas son confocal de puntos suspensivos (con focos $A$ e $B$).

¿Qué uso podemos hacer de estas dos familias de curvas ?

Un primer resultado es que un punto de $X$ puede ser de un mínimo de la función $q$ (o, al menos, un mínimo relativo), si el azul y el rojo de las líneas de contorno que pasa a través de $X$ son tangentes ; de lo contrario, si estas curvas son transversales en $X$ (transversal = no de la tangente), hay dos direcciones (ver Fig. 2) uno puede tomar que sean más ventajosas.

Fig. 2 : Un mínimo de la función $q$ no puede ocurrir en un punto de $X$ con transversal de la intersección de la azul y rojo de las curvas de nivel que pasa a través de este punto : en efecto, moviendo $X$ en una de las direcciones disminuye el valor de $q$.

Advertencia : el de tangencia en $X$ de el rojo y el azul curvas pasando por $X$ es una necesaria condición, no un suficiente uno ; tomemos el (contador) ejemplo de un punto de $X$ pertenecientes al intervalo de $I=(-1,\cos(\pi/5))$ de la $x$ eje, moviendo $X$ a la derecha en $X'$ todavía en $I$, también dará $q(X')<q(X)$ (particularmente favorables caso de que $n(X)$ disminuye mientras que $d(X)$ aumenta!).

De manera más general, es posible eliminar todos los puntos de la $x$-eje (excepto en el punto de $(1,0)$) a pesar de que el azul y el rojo curvas son tangentes en estos puntos.

¿Cuáles son los candidatos restantes puntos para el mínimo de $q(.)$ ? Un ejemplo concreto es proporcionada por la tangencia de la curva azul indexados por $1.2$ (la mayoría de elipse alargada) y la curva roja indexados por $5.1$ [justo a la derecha de la línea vertical del segmento de $AB$]. Una mirada detallada muestran que la solución de todos los puntos de $X$ se encuentran en esta zona y constituyen un continuo de puntos ; un análisis más detallado es necesario para demostrar que este "continuum" es el pequeño arco circular $AB$ del círculo unitario. Todavía no he hecho.

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Además, y esta es una segunda idea, uno puede tener acceso a una solución numérica utilizando el gradiente de cálculos.

Primero, vamos a recordar que el valor de la pendiente de la función de distancia definido por $f(M)=AM$, donde $A$ es cualquier punto fijo del plano es la unidad de la norma del vector definido en el punto de $M$ como : $$\overrightarrow{grad}(f)(M)=\frac{\overrightarrow{AM}}{AM}.$$ Ver Gradiente de distancia de la longitud del vector y el Apéndice 2.

Por lo tanto los gradientes en $X$ funciones $n$ e $d$ son resp.

$$\overrightarrow{grad}(n)(X)=\frac{\overrightarrow{AX}}{AX}+\frac{\overrightarrow{BX}}{BX},$$

$$\text{and} \ \ \overrightarrow{grad}(d)(X)=\frac{\overrightarrow{CX}}{CX}+\frac{\overrightarrow{DX}}{DX}+\frac{\overrightarrow{EX}}{EX} \tag{1}$$

The tangency condition will then be transferred as a gradients' proportionality. Moreover, we will switch to a complex function treatment that will give a more compact formulation :

$$arg(r(z-a)+r(z-b))=arg(r(z-c)+r(z-d)+r(z-e))+k \pi\tag{2}$$

where

$$r(z):=\frac{z}{|z|}$$

where $a,b,c,d,e$ stand for the complex numbers associated with $a,B,C,D,E$ resp. Indeed, having the same angle with $k$ even or opposite angles with $k$ odd means proportionality ; a further step is to replace (2) by a criterium on the imaginary part of the complex logarithm function (see line 8 in program below) :

$$\operatorname{Im}(\log(f(z))) \ \text{with}$$ $$f(z):=\frac{r(z-a)+r(z-b)}{r(z-c)+r(z-d)+r(z-e)} \tag{3}$$

(recall : $log(re^{i \theta})=log(r)+i \theta$ for the principal branch of complex logarithm function). Why is this formulation interesting ? Because we have converted the search of minima into the search of zeroes of a certain function (more exactly, the minima constitute a subset of this set of zeroes : see explanation upwards about necessary and sufficient condition).

Let us use formulation (3) to obtain a graphical representation of the points under consideration : see figure $3$ below (which does not constitute - of course - a mathematical proof) where the circular arc AB appears as the solution.

Fig. 3. In black, all points $X$ such that their gradients are almost proportional. See Appendix 1.

Appendix 1 : The Matlab program that has generated Fig. 3. Please note that the program generates all points for which this expression is close to $0$.

i=complex(0,1);
b=exp(i*pi/5);a=b^9;c=b^3;d=-1;e=b^7;% pentagon vertices
r=@(z)(z./abs(z));
dg=@(z)(r(z-c)+r(z-d)+r(z-e));
ng=@(z)(r(z-a)+r(z-b));
f=@(z)(ng(z)./dg(z));
[X,Y]=meshgrid(-2:0.005:2);
I=imag(log(f(X+i*Y)));% = imag(log(ng(X+i*Y))-log(dg(X+i*Y)));% if zero : gradients' proportionality
J=abs(I)>0.01;
imshow(J);

Appendix 2 : the gradient at point $X$ of function $n(.)$ for example is the inward or outward normal to the blue curve passing through $X$ (creo que el azul curvas isobáricas curvas y a la degradación como la que representa el viento de la dirección).

Answer 3

Teniendo en cuenta el punto de $X$ en azul atado a una unidad de radio de la circunferencia, como $X\to\infty$ tenemos que

$$ \delta(X)=\frac{AX+BX}{CX+DX+EX}\a \frac 23 $$

y $\delta(X)$ tiene un eje de simetría. Respecto a este eje, $ \delta(X)$ fuera del círculo, es monótonamente decreciente o creciente dependiendo $X\to\pm\infty$ sobre el eje de simetría por lo $\delta(X)$ extrema se encuentra sobre la circunferencia en los puntos rojos. Por simetría, la máxima en $D$ y los mínimos en $A,B$. Sigue una trama que muestra $\delta(X)$ a lo largo de los ejes de simetría de

Si $X$ es interior a la circunferencia es trivial a la conclusión de que la $\delta(X)$ numerador es mínimo sobre el lado $AB$ así como el denominador es máxima en los puntos de $A,B$. Este valor es fácil de calcular.

El mínimo absoluto se produce en el lado de la $AB$. Para calcular este valor mínimo procedemos de la siguiente manera. Más de este lado, el numerador es constante y el denominador representado por $CX^2+DX^2+EX^2$ en lugar de $CX+DX+EX$, después de la elección de $X = \lambda A+(1-\lambda)B$ y sustituyendo obtenemos

$$ CX^2+DX^2+EX^2 = \frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+15-3 \left(\sqrt{5}-5\right) (\lambda -1) \lambda \right) $$

con un mínimo en $\lambda = 0.5$. Ahora poner este valor en $CX+DX+EX$ obtenemos

$$ \min_{X\in AB} (CX+DX+EX) = \frac{1}{4} \left(5+\sqrt{5}+2 \sqrt{2 \left(15+\sqrt{5}\right)}\right) = 4.744665813418175` $$

mientras en $A,B$ el valor es $4.97979656976556$

Concluyendo, el mínimo para $\delta(X)$ a $A, B$ tiene el valor

$$ \min_{AB}\delta(X) = \frac{1.1755705045849463` }{4.97979656976556`} = 0.24776676605133463` $$

Answer 4

Si $X$ está en $AB$ , $AX+BX$ es mínimo. Y si $X=A$ , $CX+DX+EX$ es máximo. Entonces la respuesta de cesareo sigue.