¿Puede una prueba ser sólo palabras?

Question

Supongo que se trata de una cuestión de convención matemática. En un problema de Introducción a la probabilidad de Bertsekas y Tsitsiklis, piden al lector que demuestre una identidad. Pero sus pruebas son sobre todo palabras:

Problema 3.* Demostrar la identidad $$A \cup \Bigg( \bigcap_{n=1}^\infty B_n \Bigg) = \bigcap_{n=1}^\infty\big(A \cup B_n\big).$$

Solución. Si $x$ pertenece al conjunto de la izquierda, hay dos posibilidades. O bien $x \in A$ en cuyo caso $x$ b los conjuntos $A \cup B_n$ y, por tanto, belo Alternativamente, $x$ pertenece a todos los conjuntos $B_n$ i pertenece a todos los conjuntos $A \cup B_n$ y, por tanto, agai al conjunto de la derecha.

Por el contrario, si $x$ pertenece al conjunto de la derecha, entonces sea $A \cup B_n$ para todos $n$ . Si $x$ pertenece a $A$ pertenece a t el conjunto de la izquierda. En caso contrario, $x$ debe pertenecer a todos los conjuntos $B_n$ y pertenece de nuevo al conjunto de la izquierda.

En matemáticas, ¿por qué está permitido? ¿Se puede decir que esto es más correcto que una prueba que es, "¡Oh, es obvio!" o "Sólo tienes que seguir distribuyendo $A$ una y otra vez hasta la saciedad y te quedas con el término de la derecha"?

No estoy troleando. Tengo verdadera curiosidad por saber hasta qué punto hay que ser minucioso cuando se utilizan las palabras como prueba.

Answer 1

Exactamente igual de meticuloso que con cualquier otro tipo de símbolos. Lo que ocurre es que los seres humanos no pueden leer un montón de símbolos, pero las frases sí. Añadir símbolos a algo no lo hace más riguroso, menos propenso a equivocarse o cualquier otra cosa. Los símbolos son útiles para abreviar en situaciones en las que aportan claridad y hacen que los argumentos complejos sean más fáciles de seguir, pero no deberían utilizarse cuando no ayudan en este sentido.

Answer 2

Sí que pueden y soy de la opinión de que hay que evitar la simbología y la notación a menos que sirva simplemente para la presentación del material o para realizar cálculos. Por ejemplo, si quieres cortar un cubo de forma que cada cara tenga una cuadrícula de tres por tres de cubos más pequeños, como en el cubo de Rubix, y con un poco de reflexión y experimentación puedes llegar a la conclusión de que seis es el número mínimo de cortes. La mejor prueba de esto que conozco es simplemente "Considera las caras del cubo central". Requieren seis cortes porque hay seis caras y se deduce inmediatamente. Sin símbolos ni cálculos, pero lógico y matemáticamente sólido.

Answer 3

El lenguaje natural para expresar enunciados matemáticos puede ser realmente vago y ambiguo. Sin embargo, cuando se estudian matemáticas, algo que se suele aprender al principio es a utilizar la terminología matemática de forma rígida y sin ambigüedades (al menos para comunicarse con otras personas formadas en terminología matemática). Este proceso suele llevar algún tiempo si no eres un genio (creo que a mí me llevó unos dos años en la universidad hasta que adquirí una fluidez razonable), así que por desgracia me temo que no puedo decirte un pequeño conjunto de reglas sobre qué tipo de lenguaje es el "correcto" para las demostraciones matemáticas, y cuál es el "incorrecto". Esto es algo que sólo se aprende practicando.

Por lo tanto, la respuesta es IMHO "Sí, las palabras están bien, cuando las utiliza correctamente un experto" . (Sorprendentemente, se podría decir lo mismo de las pruebas más formales que utilizan símbolos).

Nótese que históricamente, antes del siglo XVIII, las demostraciones en lenguaje natural eran la norma de facto en matemáticas. La mayor parte de la notación simbólica que solemos utilizar hoy en día se desarrolló en los siglos xviii y xix .

Answer 4

Dos puntos:

(i) Históricamente, todas las pruebas eran El uso de símbolos normalizados es sorprendentemente reciente. Esto queda un poco oculto porque una edición moderna de, por ejemplo, la obra de Euclides Elementos es probable que haya traducido las palabras a la notación moderna.

(ii) Antes de poder utilizar símbolos, hay que definirlos y, en última instancia, esa definición se hará con palabras. Es fácil olvidar esto, sobre todo con los que utilizamos a todas horas y aprendimos en la infancia. Pero, por ejemplo, una vez tuvimos que aprender que $2+3=5$ era la abreviatura de "Dos cosas junto con tres cosas es lo mismo que cinco cosas".

Aunque muchos aprendimos en cambio que $2+3=5$ quería decir "Tres cosas sumadas a dos hacen cinco cosas".

Ahora bien, estas dos definiciones son diferentes. Una hace $2+3$ en una operación realizada a $2$ y golosinas $=$ como una instrucción para llevarla a cabo; la otra dice que el número de la derecha tiene el mismo valor que la expresión de la izquierda. La notación, sin embargo, no hace esta distinción, y es posible pasarse años utilizando la $=$ como si significara "poner a la derecha el resultado de la operación de la izquierda".

Así que en este caso tenemos una cadena de símbolos ( $2+3=5$ ) una definición correcta y una definición engañosa. ¿Y cómo aclaramos el significado correcto de los símbolos? Eligiendo qué definición verbal utilizar. La precisión está en las palabras (al menos si están bien elegidas).

Por supuesto, lo más probable es que los símbolos más avanzados incluyan algunos símbolos matemáticos en sus definiciones, pero en última instancia, volveremos a las palabras.

Answer 5

Para su ejemplo concreto:

Sigue distribuyendo $A$ una y otra vez hasta la saciedad y se obtiene el término de la derecha.

no sería una prueba convincente. Esto no se debe a que esté en palabras Sin embargo, las palabras están perfectamente bien.

Pero no convence porque la intersección es más de un infinito familia de conjuntos. Su propuesta funcionaría bien para un finito intersección, en el sentido de que da una receta para construir una prueba algebraica que en sí misma sería convincente. Y en matemáticas ordinarias, una receta convincente para una prueba convincente es tan buena como la prueba real.

Pero para una intersección infinita, ¡el cálculo algebraico que describes nunca termina! No importa cuántos pasos des, habrá todavía sea una intersección de infinitas $A_i$ s que aún no se han distribuido en su expresión. Así que tu receta no conduce a una prueba finita, y las cosas infinitas (en la medida en que son "cosas" en absoluto) son no argumentos convincentes.

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Hay formas de convertir algunos casos de intuición infinitaria en pruebas convincentes reales, pero tienen trampas sutiles, por lo que no se puede salirse con la suya usándolas - no importa si con palabras o con símbolos, a menos que también convenza al lector/oyente de que sabe cuáles son esos escollos y dispone de una estrategia para evitarlos. Normalmente, esto significa que hay que describir explícitamente cómo se maneja el paso de "arbitrariamente pero finitamente muchos" a "infinitamente muchos" (o en términos más sofisticados: ¿qué se hace en un ordinal límite?).

Una parte de la educación matemática que pasa desapercibida es que, con el tiempo, se ven suficientes ejemplos de esto como para acumular una caja de herramientas de "trucos habituales". Cuando te comunicas en una situación en la que confías en que todo el mundo conoce los trucos habituales, a menudo puedes salirte con la tuya sin ni siquiera especificar que truco que estés utilizando, si todos los presentes tienen la suficiente experiencia para ver rápidamente que hay uno de los trucos habituales que obviamente funcionará.