Evaluación de integrales definidas usando el teorema fundamental del cálculo

Question

Aquí está una declaración de la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo (FTC2), a partir de un conocido cálculo de texto (James Stewart, Cálculo, 4ª ed):

Si $f$ es continua en a$[a,b]$, a continuación, $\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a)$, donde $F$ es cualquier [énfasis mío] antiderivada de $f$, es decir, una función tal que $F'=f$.

El siguiente, sin embargo, parece dar un contraejemplo.*
Alguien puede resolver esto para mí?:

Deje $f(x) = \frac{1}{4 \sin (x)+5}$.

$f$ es continua en a$[0, 2 \pi]$:

Considere dos antiderivatives de $f$, $F_1$ e $F_2$:

$$F_1(x) = \frac{x}{3}+\frac{2}{3} \tan^{-1}\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)+2}\right)$$

$$F_2(x)=\frac{1}{3} \left(\tan ^{-1}\left(2-\frac{3}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)+2}\right)-\tan^{-1}\left(2-\frac{3}{\cot \left(\frac{x}{2}\right)+2}\right)\right).$$

El uso de Mathematica, he confirmado que tanto $F_1'= f$ e $F_2'= f$. De acuerdo a mi lectura de la declaración anterior de la FTC(2), $\int_0^{2\pi} f (x) \, dx = F_1(2\pi)-F_1(0)= F_2(2\pi)-F_2(0)$

Sin embargo,

$F_1(2\pi)-F_1(0)=2\pi/3$

$F_2(2\pi)-F_2(0)=0$

Nota de las parcelas por debajo de ese $F_1$ es continua en a$[a,b]$, mientras que $F_2$ no lo es. Teniendo en cuenta todo esto, parece que la condición suficiente para $\int_a^b f (x) \, dx = F(b)-F(a)$ es que la antiderivada ser continua en $[a,b]$, no el integrando.

$F_1 =$

$F_2=$

*He tomado este ejemplo la función de un wolfram.com blog.

Answer 1

Una función diferenciable es continua. Si su "antiderivada" no es continua, no es una antiderivada de una función continua.

Answer 2

@Martin Argerami publicado una sucinta y la respuesta correcta:

Una función derivable es continua. Si su "antiderivada" es no es continuo, no es una antiderivada de una función continua.

Elaborar, $F_2$ no es continua, debido a los múltiples valores de la naturaleza de la $\arctan$. Desde $\tan$ es una función periódica (con un período de $\pi$), esto significa que $\arctan$ tiene un número infinito de valores. Su trama se parece a esto:

Para hacer una correcta función (un único valor de salida), se suele elegir la rama primaria (la que pasa por el origen). Sin embargo, observe que la principal rama es discontinua en el infinito - si pasamos por el infinito positivo y volver a salir en el infinito negativo, hemos saltado de $\pi/2$ a $-\pi/2$. Lo que realmente quería era pasar a la siguiente rama para preservar la continuidad, pero a lo que íbamos, no tienen un único valor de la función. No tendríamos una función a todos, de verdad, ya que el común de la definición de función se requiere para ser un único valor.

Las discontinuidades de $F_2$ son precisamente donde el argumento de $\arctan$ se convierte en infinito donde $2+\cot\frac{x}{2}$ e $2+\tan\frac{x}{2}$ tener cero aproximadamente 4.07 y 5.36.

Answer 3

El párrafo superior aparentemente tiene un error. La integral de f (x) dx de a a b es F (b) - F (a), no F (a) - F (b), donde F es cualquier antiderivado de f.