En $f(n\theta) \to 0$ para todos $\theta>0$ y $f$ Darboux implica $f(x) \to 0$ como $x \to \infty$ ?

Question

Recordemos que una función Darboux $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es aquella que satisface la conclusión del teorema del valor intermedio (es decir, los conjuntos conexos se mapean en conjuntos conexos). Ser Darboux es una condición más débil que la continuidad. Si un teorema sobre funciones continuas sólo utiliza el teorema del valor intermedio, lo más probable es que también sea válido para toda la clase de funciones de Darboux. Me parece interesante estudiar qué teoremas sobre funciones continuas se cumplen también para las funciones de Darboux.

Tenemos el siguiente teorema, que es bastante conocido y se basa en el Teorema de la Categoería de Baire.

Si $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua y $f(n\theta) \xrightarrow[n \in \mathbb{N}, \ n\to\infty]{} 0$ para cada $\theta \in (0, \infty)$ entonces $f(x) \xrightarrow[x \in \mathbb{R}, \ \ x\to\infty]{} 0$ .

Un contraejemplo si eliminamos la continuidad es $f(x) = \mathbf{1}_{\{ \exp(n) : n \in \mathbb{N}\}}$ . Sin embargo, este contraejemplo no es Darboux, y no he sido capaz de encontrar ningún contraejemplo que sea Darboux. Por lo tanto, esto me lleva a mi pregunta.

¿Puede relajarse la condición de continuidad del teorema anterior a Darboux?

En la búsqueda de contraejemplos de este tipo, un enfoque es jugar con $\sin \frac{1}{x}$ . Un enfoque alternativo consiste en considerar funciones altamente patológicas con la propiedad de que todo conjunto abierto no vacío se asigna a $\mathbb{R}$ (por ejemplo, Base Conway-13 o el ejemplo de Brian aquí ) y modificarlos de forma que satisfagan las hipótesis del problema.

Answer 1

Ejemplo no mensurable

Por el axioma de elección existe un $\mathbb Q$ -base lineal de $\mathbb R.$ Esta base tiene la misma cardinalidad que $\mathbb R$ por lo que puede indexarse como $a_r$ para $r\in\mathbb R.$ Defina $f$ estableciendo $f(x)=r$ si $x$ es de la forma $a_0+qa_r$ para algún racional $q$ y real $r,$ y establece $f(x)=0$ para $x$ no de esta forma. Entonces $f$ es Darboux porque el conjunto $\{a_0+qa_r\mid q\in\mathbb Q\}$ es denso para cada $r.$ Pero para cada $\theta>0,$ sólo podemos tener $f(q\theta)\neq 0$ para un máximo de un racional $q$ - el recíproco de la $a_0$ coeficiente de $\theta.$ En particular $f(n\theta)\to 0$ como $n\to\infty$ con $n\in\mathbb N.$

Ejemplo cuantificable

Para $n\geq 2$ deje $b_n=n!(n-1)!\dots 2!.$ Cada real tiene una única expresión "mixed radix" como $x=\lfloor x\rfloor + \sum_{n\geq 2}\frac{x_n}{b_n}$ donde $x_n$ es el único representante de $\lfloor b_n x\rfloor$ modulo $n!$ tumbado en $\{0,1,\dots,n!-1\}.$ Para valores no negativos $x$ defina $f(x)=\lim_{n\to\infty} \tfrac{1}{n}\sum_{m=2}^n x_m$ si existe este límite y $x_n\leq 1$ para todas las $n,$ y tomar $f(x)=0$ de lo contrario. En caso negativo $x$ defina $f(x)=f(-x).$ Note $f(x)\in[0,1].$ Es evidente que $f$ toma todos los valores de $[0,1]$ en cada intervalo y, por tanto, es Darboux.

Consideremos ahora un $x>0$ con $f(x)\neq 0$ y que $q<1$ ser racional. Demostraremos que $f(qx)=0.$ Sabemos que existe $N$ tal que $x_n\leq 1$ para todos $n>N.$ Aumentar $N$ si es necesario, podemos suponer que $qN$ es un número entero. También sabemos que $x_n=1$ para infinitas $n>N$ - de lo contrario tendríamos $\lim_{n\to\infty} \tfrac{1}{n}\sum_{m=2}^n x_m=0.$ Escriba a $x=x'/b_{n-1}+1/b_n+\epsilon/b_{n+1}$ donde $x'$ es un número entero y $0\leq\epsilon< 2.$ Así que $qx b_{n+1}=qx'n!(n+1)!+q(n+1)!+q\epsilon.$ El primer término es múltiplo de $(n+1)!$ porque $qn!$ es un número entero, y el segundo término $q(n+1)!$ es un número entero, y $q\epsilon<2.$ Así que $(qx)_{n+1}$ es $q(n+1)!$ o $q(n+1)!+1$ (tenga en cuenta que esto es menos que $(n+1)!$ ). Dado que $q(n+1)!>1$ y hay infinitas $n,$ obtenemos $f(qx)=0,$ .

Esto demuestra que para cada $\theta>0,$ la secuencia $f(n\theta)$ toma como máximo un valor distinto de cero, y en particular $f(n\theta)\to 0.$

Observación: este $f$ parece ser un contraejemplo a https://arxiv.org/abs/1003.4673 Teorema 4.1.