Evaluación de los

Question

Evaluar

PS

Después de dividir y multiplicar con$$\frac{dx}{x+ \sqrt{x^2-x+1}}$, obtengo

$x-\sqrt{x^2-x+1}$.

¿Es$x+\ln |x-1|-\int \frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x-1}dx$ es integrable en términos de funciones elementales?

Answer 1

Tenemos$$I =\int \frac {\sqrt {x^2-x+1}}{x-1} dx =\frac {1}{2 }\int \frac {\sqrt {(2x-1)^2+3}}{x-1} dx $$ Substituting $ u = 2x-1$, we get, $$I =\frac {1}{2} \int \frac {\sqrt{u^2+3}}{u-1} du $$ Now perform hyperbolic substitution $ u = \ sqrt {3} \ operatorname {sinh} (v)$ and simplifying gives us $$I =\frac {3}{2} \int \frac {(\operatorname {cosh }(v))^2}{\sqrt {3}\operatorname{sinh}(v) -1} dv $ $ que puede resolverse mediante la sustitución de Weierstrass . Espero eso ayude.

Answer 2

Existe una sustitución, llamada sustitución de Euler , que resuelve su integral bastante bien. En su caso establecemos$t = \sqrt{x^2 - x + 1} + x$; después de restar$x$ de ambos lados y de la cuadratura, obtenemos$x^2 -x + 1 = t^2 - 2xt + x^2$, que se puede resolver (después de restar$x^2$ de ambos lados) para obtener$x = \frac{t^2 - 1}{2t - 1}$. En este caso,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x + 1}}(2x-1) + 1$, y así

\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{x + \sqrt{x^2 - x + 1}} = \int (\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - x + 1}}\cdot\frac{1}{\frac{dt}{dx}})\frac{dt}{dx}dx \\= \int \frac{1}{t}\cdot\frac{1}{[\frac{1}{t - (t^2-1)/(2t-1)}\cdot(2(\frac{t^2-1}{2t-1}) - 1)] + 1} dt = \dots \\ \dots = \int\frac{t^2 - t + 1}{3t^3 - 3t^2} dt\end {eqnarray}

que es bastante fácil de resolver directamente por fracciones parciales.