Prueba de límite por la definición

Question

Si $X=(x_n)$ es una secuencia positiva que converge a $x$ entonces $(\sqrt {x_n})$ converge a $\sqrt x$ .

La pista que me dio mi libro es: $$\sqrt x_n -\sqrt x = \frac{x_n-x}{\sqrt x_n +\sqrt x}$$ lo que nunca se me ocurriría intentar, así que tal vez no estoy entendiendo del todo lo que la definición del límite está tratando de transmitir.

Mi intento:

Sabemos que $\lim x_n=x$ . Por lo tanto, dado cualquier $\epsilon>0$ $\exists$ un $N$ tal que $|x_nx|<\epsilon$ para todos $n\ge N.$

Entonces para $\lim \sqrt {x_n}=\sqrt x$ . Dado cualquier $\epsilon>0$ hay un $N$ tal que $|\sqrt x_n -\sqrt x|<\epsilon$ , $\forall n\ge N$ $$|\sqrt x_n -\sqrt x|=\frac{|x_n-x|}{|\sqrt x_n +\sqrt x|}< \frac{\epsilon}{|\sqrt x_n +\sqrt x|}.$$

Lo cual no me parece del todo correcto porque siento que me falta mucha información.

Answer 1

Vas por buen camino. Ahora todo lo que tienes que hacer es atar $\sqrt {x_n}+\sqrt x$ de debajo de . Digamos que se obtiene una constante $\frac 1 \eta$ tal que $$\frac 1 \eta<\sqrt {x_n}+\sqrt x$$ para cada $n$ . Entonces tendrás para cada $n$ que

$$ \frac{1}{\sqrt {x_n}+\sqrt x}<\eta$$

lo que significa

$$\frac {|x_n-x|}{\sqrt {x_n}+\sqrt x}< \eta{\epsilon} $$

Por lo tanto, dado $\epsilon$ podrías tomar $N$ tal que $n\geq N$ implica $|x-x_n|<\epsilon/\eta$ lo que te dejaría con

$$\frac {|x_n-x|}{\sqrt {x_n}+\sqrt x}< \eta{\epsilon/\eta}=\epsilon$$

y la prueba estaría completa.

¿Puedes hacerlo?

Thomas tiene una buena solución cuando $\lim x_n\neq 0$ . Si $\lim x_n=0$ Tendríamos que demostrar que $\sqrt {x_n}<\epsilon$ para $n$ suficientemente grande, es decir $x_n<\epsilon^2$ para $x$ lo suficientemente grande. Y eso no es difícil =)

ADD Dices "...que nunca se me ocurriría probar, así que quizá no estoy entendiendo del todo lo que la definición del límite intenta transmitir". Puede que el "truco" que utiliza el libro no sea demasiado obvio al principio, pero te acostumbrarás a ellos más adelante. No tiene nada que ver con la comprensión que la definición de límite quiere transmitir. Lo que sí te puede interesar es que, como sabemos que podemos hacer $|x-x_n|$ pequeño, sería bueno escribir $|\sqrt x-\sqrt{x_n}|$ en términos de $|x-x_n|$ y trabajar con eso. Por ejemplo, digamos $x_n\to x$ . Si quiere probar $x_n^2\to x^2$ , usted quiere $$|x^2-x_n^2|$$ pequeño. Sin embargo, tenemos $$|x^2-x_n^2|=|x-x_n|\cdot|x+x_n|$$

Una parte la podemos hacer pequeña, la otra la podemos "controlar" de alguna manera, así que sabemos que en conjunto el producto será pequeño. Creo que ya te lo he dicho antes: practica, practica, practica.

Answer 2

En primer lugar, suponga que $x\neq 0$ .

Dado $x$ puedes elegir $N$ de manera que cuando $n\geq N$ entonces $$ \lvert x_n - x\lvert < \epsilon\sqrt{x}. $$ Así que entonces

$$ \lvert\sqrt x_n -\sqrt x\rvert = \frac{|x_n-x|}{|\sqrt x_n +\sqrt x|} = \frac{|x_n-x|}{\sqrt x_n +\sqrt x} \leq \frac{\lvert x_n - x\rvert}{\sqrt{x}} < \epsilon. $$ Aquí sólo estás usando eso $\sqrt{x_n} \geq 0$ para todos $n$ .

Para completar, consideremos ahora el caso en el que $x = 0$ . Entonces tienes de nuevo $\epsilon > 0$ dado. Usted elige $N$ tal que $\lvert x_n\rvert = x_n< \epsilon^2$ . Así que entonces $$ \lvert \sqrt{x_n}\rvert = \sqrt{x_n} < \sqrt{\epsilon^2} = \epsilon. $$