Deje $\ell^\infty$ denota el conjunto de todas las secuencias delimitadas $x \colon = (\xi_j)_{j=1}^\infty$, $y \colon= (\eta_j)_{j=1}^\infty$ de los números complejos con la métrica $d$ define de la siguiente manera: $$ d(x,y) \colon= \sup_{j\in\mathbb{N}} |\xi_j - \eta_j|. $$
Entonces, ¿cómo determinar si $\ell^\infty$ es completa?
Mi trabajo:
Deje $(x_n)$ donde $x_n \colon= (\xi_j^{(n)})$, ser una secuencia de Cauchy en $\ell^\infty$. Entonces, dado $\epsilon > 0$, existe un entero $N$ tal que $m$, $n > N$ implica que $$d(x_m, x_n) = \sup_{j\in\mathbb{N}} |\xi_j^{(m)} - \xi_j^{(n)}| < \epsilon.$$ So, for each $j \in \mathbb{N}$, tenemos $$ |\xi_j^{(m)} - \xi_j^{(n)}| < \epsilon,$$ from which it follows that, for each $j\in \mathbb{N}$, the sequence $(\xi_j^{(n)})_{n=1}^\infty$ is a Cauchy sequence in the complete mertic space $\mathbb{C}$, el conjunto de los números complejos en virtud de la métrica usual, y por lo tanto, esta secuencia es convergente; vamos a $$\xi_j \colon= \lim_{n\to\infty} \xi_{j}^{(n)} $$ for each $j \in \mathbb{N}$.
Deje $x \colon= (\xi_j)_{j=1}^\infty$. Ahora tenemos que demostrar que $x\in \ell^\infty$ y $x_n \to x$$n \to \infty$. Con el fin de mostrar que el $x \in \ell^\infty$, nos muestran que la $x$ es un almacén de secuencia.
Desde $\xi_j^{(n)} \to \xi_j$ $n \to \infty$ existe $N_j$ tal que $n > N_j$ implica que el $$|\xi_j^{(n)} - \xi_j| < \epsilon.$$ Y ya que, por ejemplo, $x_{N+1} = (\xi_j^{(N+1)} )_{j=1}^\infty$ es una secuencia en $\ell^\infty$, es un almacén de la secuencia de los números complejos; de modo que no sea un número real negativo $k_{N+1}$ tal que $$ |\xi_j^{(N+1)} | \leq k_{N+1}$$ para cada una de las $j \in \mathbb{N}$.
Por lo tanto, para cada una de las $j \in \mathbb{N}$, tenemos $$|\xi_j| = | \xi_j - \xi_j^{(N+1)} + \xi_j^{(N+1)} | \leq | \xi_j - \xi_j^{(N+1)} | + |\xi_j^{(N+1)} | < \epsilon + k_{N+1},$$ which shows that $x \in \ell^\infty$.
Estoy en lo cierto hasta el momento?
Ahora, ¿cómo demostrar rigurosamente que $(x_n)$ converge a $x$?
Mi esfuerzo:
Fix $m \in \mathbb{N}$.
Luego, por cada una de las $j = 1, \ldots, m$, tenemos $$ \lim_{n\to\infty} \xi_{j}^{(n)} = \xi_j,$$ por tanto, y dado $\epsilon > 0$, podemos encontrar un entero $M_j$ tal que $n > M_j$ implica que $$|\xi_j^{(n)} - \xi_j| < \frac{\epsilon}{2}. $$
Ahora echemos $M \colon= \max(M_1, \ldots, M_m)$.
A continuación, $n > M$ implica $$ |\xi_j^{(n)} - \xi_j| < \frac{\epsilon}{2} $$ for each $j= 1, \ldots, m$.
Es decir, $n > M$ implica que $$ \sup \{|\xi_j^{(n)} - \xi_j| \colon j = 1, \ldots, m \} \leq \frac{\epsilon}{2}.$$
¿Qué es lo siguiente?
