Probar o refutar que$\phi(a^n - 1)$ es divisible por n

Question

Tengo una prueba para el caso de $a$ siendo el primer yo creo, yo creo que esto también es cierto para $a$ compuesto desde que me hizo una prueba para el primer $100$ números en el primer $100$ valores de $n$ y parece ser cierto.

De todos modos la prueba para que la 'a' prime es indirecta y a través finita de la teoría de campo. $ \phi(a^n - 1)$ es el número de raíces primitivas en $GF(a^n)$ y tienen irreductible polinomios de grado n $GF(a)$ y todas las raíces de la ecuación irreducible tiene que ser de raíces primitivas. Así que la irreductible ecuaciones de la partición del conjunto de raíces primitivas en conjuntos de $n$ elementos que significa $ \phi(a^n - 1)$ es divible por $n$.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Si$a > 1$ es un número entero, entonces el orden de$a$ en$\mathbb{Z}_{a^n-1}^*$ es$n$.

Answer 2

Tal vez esto ayude:$$ (a , a^n - 1) = 1 $ $ así que

$$ a^{\Phi (a^n - 1)} = 1 \pmod {a^n-1} $ $ por otro lado$$ a^n = 1 \pmod {a^n-1} $ $

Answer 3

Asumiremos$a > 1$. Tenga en cuenta que el orden de$a$ modulo$(a^n-1)$ es exactamente $n$:

• $a^n\equiv 1 \mod (a^n-1)$ (la orden se divide$n$)

• $|a^k - 1| < |a^n - 1|$ para$k<n$ (el pedido es al menos$n$).

Por el teorema de Lagrange, el orden de un elemento divide el orden del grupo, por lo tanto:$$n | \phi(a^n-1)$ $