Klein cuatro grupos como automorfismo de un gráfico.

Question

Cada grupo abstracto finito es el grupo de automorfismo de algún gráfico.

¿Alguien puede mostrar un ejemplo de un gráfico cuyo grupo de automorfismo es isomorfo para el cuatro grupos de Klein?

Answer 1

Claro, toma dos gráficos (no isomórficos)$G_1, G_2$ con grupos de simetría trivial (fácil), y luego toma la unión desunida de dos copias de$G_1$ y dos copias de$G_2.$

Answer 2

Pruebe un gráfico simple con$4$ vértices y$5$ bordes. En otras palabras, dibuje el gráfico completo$K_4$ y elimine un borde.

O el gráfico complementario, con$4$ vértices y$1$ borde.

Answer 3

Puede obtener infinitos gráficos de este tipo comenzando con el gráfico de Cayley (coloreado)$C$ de$G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ y reemplazando los bordes de color con gráficos (incoloros) que tienen simetría trivial e isomorfos entre sí, si solo y si reemplazan Bordes del mismo color. Esto es (de una manera) cómo probar el teorema de Frucht en primer lugar.

Answer 4

Prueba esto. Comience con un diagrama de Schlegel para un cubo tridimensional

Ahora coloque las X en las caras "superior" e "inferior" (es decir, los bordes {0,3} y {1,2} para la "X superior", en esta imagen). Eso debería crear dos ejes perpendiculares de simetría de espejo, y no veo ninguna otra simetría aparte de la rotación$180^\circ$.