¿Puede * cualquier * polinomio real ser factorizado linealmente (más una constante) sobre$\mathbb{R}$?

Question

Parece ser cierto que cada polinomio real $p_n$ grado $n$ puede ser factorizado en la siguiente (no la única) en el camino de $$ p_n = \sum_{i=0}^n a_ix^i = s \left\{\prod_{i=1}^n(x-b_i)\right\} +t \tag{$\ast$}$$ with $a_i, s, b_i, t $ all in $\mathbb{R}$.

Por ejemplo:

• $x-1=(x-1)+0$

• $x^2-5x+7=(x-2)(x-3)+1=(x-5)(x-0)+7$

• $x^2+1 = (x-0) \cdot (x-0) +1$

Estoy teniendo un tiempo difícil venir para arriba con una rigurosa prueba. He intentado usar el hecho de que cada polinomio $p_n$ puede ser escrito como $(x-a)g(x)+b$ donde $g$ es una función polinómica y $a$ es un número real arbitrario, pero sin éxito. De otra manera se podría hacer es expandir el lado derecho de la $(\ast)$ y mostrando que el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes de concordancia de los poderes de $x$ tiene siempre una solución real. Pero creo que debe haber una forma más sencilla prueba hay, por ejemplo, a través de la inducción, si es posible sin el Teorema Fundamental del Álgebra. Estaría encantado si alguien podría aclararme!

Answer 1

No, esto no es posible en general. Por ejemplo, supongamos $p(x)=x^3+x$. Tenga en cuenta que $p'(x)=3x^2+1$ es siempre positiva, por lo $p$ es estrictamente creciente. Esto significa que para cualquier $t\in\mathbb{R}$, $p(x)-t$ tiene al menos una raíz real. Por otra parte, $p(x)-t$ no tiene ningún repetidos de raíces reales, ya que su derivada es nunca $0$. Así que no hay $t$ tal que $p(x)-t$ puede ser un factor en el lineal de los factores más $\mathbb{R}$.

De hecho, usted puede probar esto sin ningún tipo de cálculo de la siguiente manera. En primer lugar, tenga en cuenta que $x^3+x=x(x^2+1)$ es estrictamente creciente: al $x>0$ es obviamente positiva y creciente, y al $x<0$ es negativo y creciente, ya que ambos factores son la disminución en valor absoluto. Así que todo lo que queda es descartar la posibilidad de que $x^3+x-t$ tiene una única raíz triple para algunos $t$. Pero si $b\in\mathbb{R}$ fueron una triple raíz de $x^3+x-t$, tendríamos $x^3+x-t=(x-b)^3=x^3-3bx^2+3b^2x-b^3$. La comparación de los términos cuadráticos da $b=0$ pero, a continuación, los términos lineales no coinciden, así que esto es imposible.

Answer 2

Su reclamo es que después de una traducción vertical adecuada, la gráfica de un grado$n$ de función polinómica real entrecruzará el$x$ - eje$n$ - veces, multiplicidades contadas. O en otras palabras, el polinomio solo tendrá raíces reales. Esto es cierto en grados$\leq 2$, pero falla en$$P(x)=x^3+x.$ $