$A^2$ y $A^3+A$ son diagonalizables, demuestre que $A$ es diagonalizable

Question

En un espacio vectorial de dimensión finita, supongamos $A^2$ y $A^3+A$ son diagonalizables, cómo demostrar $A$ ¿es diagonalizable?

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Lo que puedo saber es el polinomio mínimo de $A^2$ y $A^3+A$ pero no sé cómo proceder

Answer 1

Una pista: Supongamos que $A$ está en forma de Jordan. Como $A^2$ es diagonalizable, cualquier bloque de Jordan asociado a un vector propio distinto de cero tiene un tamaño $1$ . Desde $A^3+A$ es diagonalizable, cualquier valor propio asociado a $0$ son de tamaño $1$ .

La conclusión es la siguiente.

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Por ejemplo, considere para cualquier $\lambda\neq 0$ $$ A=\pmatrix{\lambda & 1\\ 0&\lambda} \implies A^2= \pmatrix{\lambda^2 & 2\lambda\\ 0&\lambda^2} $$ Tenga en cuenta que $A$ sólo tiene $1$ eigenvector (más exactamente, un $1$ -eigenspace) asociado a $\lambda^2$ y ningún otro valor propio. Entonces, $A^2$ no es diagonalizable, y ninguna matriz con $A$ como un subbloque diagonal es diagonalizable.

Answer 2

El ejemplo $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ over $\mathbb{R}$ shows that the assertion is false without some additional assumptions. After all, $$ A^2=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix} $$ es diagonalizable, al igual que $$ A^3+A=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}=0$$ pero $A$ no es diagonalizable.

Si el campo es algebraicamente cerrado, entonces la respuesta de Omnomnom funciona.