Alguna idea?

Question

$\int \frac{{\sqrt{1+\sqrt{x}}}}{x} dx$

Intento con$u=\sqrt x $ pero no sé qué hacer ...

Gracias

Shadock

Answer 1

Deje que$u=\sqrt{1+\sqrt{x}}$ obtenga$x=(u^2-1)^2$ y$dx=4u(u^2-1)du$, entonces

$\displaystyle\int\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}dx=\int\frac{4u^2}{u^2-1}du=4\int\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)du$

Answer 2

Parece que deberías poder eliminar ambos radicales problemáticos con la sustitución

$$x=\tan^4t,dx=4\tan^3t\sec^2tdt$ $$$\int\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x}dx=\int\frac{\sec t}{\tan^4 t}4\tan^3t\sec^2tdt=$ $$$\int\frac{4\sec^3tdt}{\tan t}=4\int\frac{dt}{\sin t\cos^2t}=4\int\frac{\sin tdt}{\cos^2t(1-\cos^2t)}$ $$$u=\cos t,du=-\sin tdt$ $$$-4\int\frac{du}{u^2(1-u^2)}=-4\int\frac{du}{u^2}-4\int\frac{du}{1-u^2}=$ $$$-4\int\frac{du}{u^2}-2\int\frac{du}{1-u}-2\int\frac{du}{1+u}$ $ Hasta ahora, ha sido relativamente sencillo, pero la sustitución inversa puede ser un problema. Tenemos

$$\frac4u+2\ln(1-u)-2\ln(1+u)=4\sec t+2\ln\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=$ $$$4\sec t+2\ln\frac{\sec t-1}{\sec t+1}$ $

A partir de aquí, tendrías que usar$\sec t=\sqrt{1+\sqrt x}$. Puedes limpiar el numerador de ese registro natural reescribiéndolo como$\ln\dfrac{\tan^4t}{(\sec t+1)^4}$, pero ese denominador todavía será feo ...