He visto los límites $ \left ( \frac {n}{k} \right )^k \leq {n \choose k} \leq \left ( \frac {en}{k} \right )^k$ para los números enteros $n \geq k >0$ para el coeficiente del binomio. Puedo probar el límite superior en esta desigualdad, pero me falta algún detalle para el límite inferior. ¿Alguien sabe alguna forma sencilla de probar este límite inferior?
Respuesta
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Primero, vemos que para $k=1$ tenemos una declaración trivial $$ \left ( \frac {n}{k} \right )^k = n \leq n = \binom {n}{k}.$$
Ahora, considera $k > 1$ y dejar $0 < m < k \leq n$ . Luego
$$k \leq n \Rightarrow \frac {m}{n} \leq \frac {m}{k} \Rightarrow 1 - \frac {m}{k} \leq 1- \frac {m}{n} \Rightarrow \frac {k-m}{k} \leq \frac {n-m}{n} \Rightarrow \frac {n}{k} \leq \frac {n-m}{k-m}$$ Por lo tanto, $$ \left ( \frac {n}{k} \right )^k = \frac {n}{k} \cdot \ldots \cdot \frac {n}{k} \leq \frac {n}{k} \cdot \frac {n-1}{k-1} \cdot \ldots \cdot \frac {n-k+1}{1} = \binom {n}{k}.$$
