Dado$a_1=1, a_2=2, a_{n+1}=n(a_n+a_{n-1})$ encuentra el término general

Question

Dado secuencia definida de forma recursiva $(a_n)$: $$a_1=1$$ $$a_2=2$$ $$a_{n+1}=n(a_n+a_{n-1}), n\geq 2$$

Encontrar la fórmula para el término general $a_n$.

Esto es lo que hice:

Así que los primeros términos son: $a_1=1, a_2=2,a_3=6,a_4=24,a_5=120,...$ Supongo que el término general que puede ser escrito como $n!$. Vamos a probar por inducción matemática:

Caso Base: $a_1=1!=1$, por lo que es cierto para $n=1$. Supongamos que es cierto para algunos $n$,es decir,$a_n=n!$. A continuación, $$a_{n+1}=n(a_n+a_{n-1})=n(n!+(n-1)!)=n(n(n-1)!+(n-1)!)=n(n-1)!(n+1)=(n+1)n(n-1)!=(n+1)!$$

Usando el principio de inducción matemática hemos probado que el término general de esta sucesión es $n!$.

Es esto una prueba válida? No estoy seguro si es permitido poner a $a_{n-1}=(n-1)!$ aquí.

Answer 1

$$ a_n = n! $$

Esto se puede mostrar mediante la inducción del formulario: compruebe$n=1$ y$n=2$, y luego suponiendo que la declaración es verdadera para$n=k$ y$n=k+1$, donde$k$ arbitrario, muestra que es cierto para$n=k+2$.

Entonces, de hecho,$a_1=1!$ y$a_2=2!$. Supongamos que$a_k=k!$ y$a_{k+1}=(k+1)!$, luego $$ a_ {k +2} = (k +1) (a_k + a_ {k +1}) = (k +1) k! + (K +1) (k +1)! = (K +1)! + (K +1) (k +1)! = (K +2) !. $$ QED