Demuestra la convergencia y encuentra la suma de las series $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(n^3\sin\frac{\pi}{3^n}\right)$ .

Question

Sabemos que $0<\sin\frac{\pi}{3^n}\le\frac{\sqrt 3}{2},\forall n\ge 1$ . Cómo encontrar el límite para $n^3\sin\frac{\pi}{3^n}$ (¿cómo utilizar la prueba de comparación?)

Intenté usar la prueba de proporción, pero el límite $$\lim\limits_{n\to\infty}\left((n+1)^3\sin\frac{\pi}{3^{n+1}}\cdot \frac{1}{n^3\sin\frac{\pi}{3^n}}\right)$$ no es tan fácil de evaluar.

Answer 1

Desde $\sin x \le x$ para $x\ge 0$ y $0\le \frac{\pi}{3^n}\le \pi$ , $$ 0\le n^3 \sin\frac{\pi}{3^n} \le \frac{n^3 \pi}{3^n} $$ y $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 \pi}{3^n}$ converge por la prueba de la proporción. Por la prueba de comparación, la serie dada converge.

Answer 2

Se puede evaluar el límite de esta manera

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left( \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{\sin\frac{\pi}{3^{n+1}}}{\sin\frac{\pi}{3^{n}}}\right) &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \lim_{n \to \infty} \frac{\sin\frac{\pi}{3^{n+1}}}{\sin\frac{\pi}{3^{n}}} \\ &= 1 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi}{3^{n+1}}}{\frac{\pi}{3^{n}}} \\ &= 1 \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{3} \end{align}$$

y como el resultado es menor que $1$ la serie convergerá.

Answer 3

Esta no es una respuesta completa

Las otras respuestas ya trataban la primera parte de la pregunta.

Sin embargo, como el PO también pregunta por la suma de las series, he hecho algún intento de encontrar una forma cerrada. Hasta ahora no he podido, pero hay una forma de transformar la serie para obtener una convergencia más rápida.

Primero vamos a utilizar la serie de Taylor para $\sin$ :

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3\sin\frac{\pi}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} n^3 \frac{\pi^{2k+1}}{3^{n(2k+1)}}$$

Ahora podemos intercambiar el orden de la suma, ya que tenemos una simple suma geométrica como para $n$ . Dejaré la derivación fuera (se puede hacer por diferenciación repetida del término general de la serie geométrica con respecto a $x$ y algo de álgebra simple):

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^n=\frac{x(x^2+4x+1)}{(1-x)^4}$$

Así obtenemos:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 \frac{1}{3^{(2k+1)n}}=\frac{1 + 4/3^{2k+1} + 1/3^{2(2k+1)}}{3^{2k+1}(1 - 1/3^{2k+1})^4}=3^{2k+1} \frac{3^{2(2k+1)} + 4 \cdot 3^{2k+1} + 1}{(3^{2k+1} - 1)^4}$$

Las series resultantes no parecen tener ninguna forma cerrada, de hecho ni siquiera se pueden expresar como una suma finita de funciones hipergeométricas (por el denominador).

Sin embargo, para $k>>1$ podemos escribir aproximadamente $3^{2k+1} - 1 \asymp 3^{2k+1}$ entonces tenemos..:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} 3^{2k+1} \frac{3^{2(2k+1)} + 4 \cdot 3^{2k+1} + 1}{(3^{2k+1} - 1)^4} \pi^{2k+1}> \\ > \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \left(\frac{1}{3^{2k+1}}+\frac{4}{9^{2k+1}}+\frac{1}{27^{2k+1}} \right)\pi^{2k+1}=\sin \frac{\pi}{3}+4 \sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{27}$$

Ahora para obtener una aproximación a la serie original simplemente la truncamos en algún $N>>1$ y restar el término general de la serie simple anterior. En otras palabras:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3\sin\frac{\pi}{3^n} \approx \sin \frac{\pi}{3}+4 \sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{27}+S_N$$

Dónde:

$$S_N=\sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \left( \frac{27^{2k+1} + 4 \cdot 9^{2k+1} + 3^{2k+1}}{(3^{2k+1} - 1)^4}-\frac{1}{3^{2k+1}}-\frac{4}{9^{2k+1}}-\frac{1}{27^{2k+1}} \right) \pi^{2k+1}$$

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Comparemos la tasa de convergencia.

Numéricamente tenemos:

$$\sin \frac{\pi}{3}+4 \sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{27}=2.350198891212\dots$$

$$S_2=10.363579165119\dots$$ $$S_3=10.363578662463\dots$$ $$S_4=10.363578663311\dots$$ $$S_5=10.363578663310\dots$$

$$\sin \frac{\pi}{3}+4 \sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{27}+S_4=\color{blue}{12.71377755452}3 \dots$$

$$\sin \frac{\pi}{3}+4 \sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{27}+S_5=\color{blue}{12.713777554522} \dots$$

Donde se resaltan los dígitos correctos, porque el valor real de la serie lo es:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3\sin\frac{\pi}{3^n}=12.713777554522\dots$$

Por otro lado, utilizando la forma original de la serie, obtenemos para 20 y 29 términos:

$$\sum_{n=1}^{20} n^3\sin\frac{\pi}{3^n}=\color{blue}{12.71377}3054816\dots$$

$$\sum_{n=1}^{29} n^3\sin\frac{\pi}{3^n}=\color{blue}{12.71377755}3872\dots$$

En otras palabras, necesitamos muchos más términos para obtener el mismo número de dígitos correctos.

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Si tengo más resultados actualizaré este post.

Todo el cálculo numérico se realizó con Wolfram Alpha.