Topológico, espacio que no es homeomórficos a la inconexión de la unión de sus componentes conectados

Question

Como dice el título, estoy buscando un contraejemplo a la afirmación de que cada espacio topológico X es homeomórficos a la inconexión de la unión de sus componentes conectados.

Yo sé que esto es de hecho verdadero si X es localmente conectado porque esto implica que los componentes conectados están abiertas, pero, por desgracia, no tengo suficiente repertorio de ejemplos de espacios que cumplan determinadas condiciones (en este caso, al no estar conectado localmente).

Gracias de antemano
J. Dillinger

Answer 1

Dos ejemplos de totalmente desconectados de los espacios (que no son discretas) $\mathbb{Q}$ (con la topología de subespacio de $\mathbb{R}$) y el producto $\{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}$ de countably muchas copias de los dos puntos discretos en el espacio (homemorphic tanto el conjunto de Cantor y, si recuerdo correctamente, el $p$-ádico enteros).

Generalizar el segundo ejemplo, cualquier Piedra espacio es totalmente desconectados. Estos espacios son importantes a medida que surgen los espectros de anillos Booleanos.

Si quieres ampliar tu repertorio de ejemplos de espacios, es difícil hacerlo mejor que Steen y Seebach del Contraejemplos en la Topología.