Es probable que $x<2$ igual a la probabilidad de que $x^2<4$ dado $1<x<3$ ?

Question

Suponiendo que $x$ es un número real uniformemente distribuido en el intervalo $(1,3).$

así que $x^2$ también se distribuye uniformemente en el intervalo $(1,9)$ {En cuanto a cada $x=a\in (1,3) $ existe $x^2=a^2\in (1,9)$ }.

Probabilidad de que $x<2$ sería $\frac{1}{2}$ como $x$ puede estar en $(1,2)$ donde el conjunto de muestras de $x$ es $(1,3)$ mientras que la probabilidad de que $x^2<4$ es $\frac{3}{8}$ como $x^2$ puede estar en $(1,4)$ donde el conjunto de muestras de $x^2$ es $(1,9).$

Entonces, ¿por qué la probabilidad de que $x<2$ diferente de $x^2<4$ si ambos son idénticos?

Answer 1

Si $X$ se distribuye uniformemente en $[1,3]$ entonces $P(X^2\le a^2)=P(X\le a)=\frac{a-1}2$ . Por lo tanto, $P(X^2\le a)=\frac{\sqrt{a}-1}2$ . Así, la PDF de $X^2$ es $\frac1{4\sqrt{a}}$ .

Eso es, $X^2$ es no distribuidos uniformemente en $[1,9]$ .

Answer 2

Decidiste por cualquier $x$ para que coincida con $x^2$ así que estás afirmando que $x<2$ es idéntica a $x^2<4$ pero también puede coincidir con $4x-3$ en el intervalo $(1,9)$ para todos $x$ en el intervalo $(1,3)$ lo que hace que $x<2$ lo mismo que $4x-3<5$ .

Ese es el problema de definir la probabilidad en un grupo infinito.