¿Es la proyección de un poliedro convexo sobre un plano un polígono convexo?

Question

Si tenemos un poliedro convexo con vértices $\mathbf{V}$ y proyectarlo en un plano $\mathbf{P}$ ¿es este procedimiento equivalente a proyectar puntos en $\mathbf{V}$ en el avión $\mathbf{P}$ y luego calcular el casco convexo 2D de los vértices proyectados? En otras palabras, ¿es la proyección de un poliedro convexo sobre un plano un polígono convexo? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo matemáticamente?

Answer 1

Pista: Un conjunto $\mathbf{P}$ es convexo si para cualquier punto $x,y\in \mathbf{P}$ el segmento $[x,y]$ que se unan a ellos pertenece a $\mathbf{P}$ .

Answer 2

Si $P$ es cualquier mapa lineal y $$ x = \sum_i \lambda_i x_i $$ entonces $$ Px = \sum_i \lambda_i Px_i $$ lo que significa: ¡sí! Las combinaciones convexas se conservan bajo cualquier mapa lineal.