¿Cuáles son exactamente los "términos de orden superior" (HOT) en la expansión de la serie de Taylor en casos multivariables?

Question

Sé que la expansión en series de Taylor en el caso de una sola variable:

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!}f^{(3)}(x_0)(x-x_0)^3 + \frac{1}{4!}f^{(4)}(x_0)(x-x_0)^4 + \frac{1}{5!}f^{(5)}(x_0)(x-x_0)^5 + \dots $$

Caso Multivariable se expresa como:

$$ f(\bar{x}) = f(\bar{x_0}) + \bar\nabla f(\bar{x_0})^T(\bar{x} - \bar{x_0}) + \frac{1}{2}(\bar{x} - \bar{x_0})^T\bar\nabla^2 f(\bar{x_0})(\bar{x} - \bar{x_0}) + H.O.T. $$

No puedo encontrar la expresión anterior en todas partes, pero no es posible encontrar la expresión abierta para el H. O. T. (al menos, yo no era capaz de encontrarlo). No origen de los estados de la expresión explícita de los términos de orden superior. Hacer a las personas a evitar por algún motivo? Por ejemplo, son aquellos términos demasiado complejo o demasiado tiempo para escribir?

Así que, ¿cuáles son estos los términos de orden superior en el caso multivariable? Hacer que implican una $\bar\nabla^3 f(\bar{x_0})$, $\bar\nabla^4 f(\bar{x_0})$, $\bar\nabla^5 f(\bar{x_0})$, ... términos; si sí, ¿cómo se define? Por favor, escriba un par de términos de H. O. T. para hacer el patrón claro.

Answer 1

La fórmula es casi idéntica a la de una sola variable de caso. Usted debe ser capaz de encontrar esto en cualquier buen libro que cubre cálculo en espacios de Banach.

Teorema. Deje $E,F$ ser espacios de Banach, vamos a $A\subseteq E$ ser un conjunto abierto, y deje $f:A\to F$ ser una clase de $C^p$ mapa. Deje $x\in A$ y deje $v\in E$. Supongamos que el segmento de línea $x+tv$ $0\le t\le1$ está contenido en $A$. Escribir $v^{(k)}$ $k$- tupla $(v,\dots,v)$. Entonces $$ f(x+v)=\sum_{k=0}^{p-1}\frac{f^{(k)}(x)v^{(k)}}{k!} + R_p, $$ where $$ R_p = \int_0^1 \frac{(1-t)^{p-1}}{(p-1)!} f^{(p)}(x+tv)v^{(p)}\,dt. $$

Prueba. Integración por partes.

Aquí $f^{(k)}(x)\in L(E,L(E,\dots,L(E,F))\dots)$. (Usted ya debe saber que la primera derivada $f'(x)$ es sólo lineal mapa de$E$$F$, por lo que podemos diferenciar el mapa de $f':A\to L(E,F)$ conseguir $f'':A\to L(E,L(E,F))$ y así sucesivamente.)

Echa un vistazo Análisis Matemático II por Zorich & Cooke o Real y el Análisis Funcional de Lang.

Answer 2

Sólo son tensores de orden superior. Piensa en ellas matrices multidimensionales. Entonces (asumiendo que la salida de$f$ es solo un escalar real), el primer término en la expansión de Taylor es solo un escalar. El segundo término es un vector, todos los primeros parciales (también conocido como el vector de gradiente). El tercer término es una matriz cuadrada, todos los segundos parciales posibles (también conocida como la matriz de Hesse). El cuarto término es una matriz 3D, todos los terceros parciales posibles, y así sucesivamente.

Answer 3

Además de las respuestas a continuación, el formulario explícito para tres variables es$$f(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$ $$$+\frac{\partial f_0}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f_0}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial f_0}{\partial z}(z-z_0)\quad \Rightarrow Order 1$ $$$+\frac{1}{2} \bigg(\frac{\partial^2 f_0}{\partial x^2}(x-x_0)^2+\frac{\partial^2 f_0}{\partial y^2}(y-y_0)^2+\frac{\partial^2 f_0}{\partial z^2}(z-z_0)^2+2\frac{\partial^2 f_0}{\partial x\partial y}(x-x_0)(y-y_0) $ $$$+2\frac{\partial^2 f_0}{\partial x\partial z}(x-x_0)(z-z_0)+2\frac{\partial^2 f_0}{\partial z\partial y}(z-z_0)(y-y_0)\bigg)\quad \Rightarrow Order 2$ $ Y así es para pedidos más altos

Answer 4

Los términos no son diferentes de los que cabría esperar según el caso univariado.

La suma general puede ser declarada como

PS

Esto se deduce del caso de una sola variable al escribir$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}[(x-x_0) \cdot \nabla]^n f|_{x_0}$ para un vector unitario$x-x_0 = t \hat v$. Cada componente se puede expresar como una función de$v$ y expandirse en una serie 1D de Taylor.