¿Por qué la Regla Trapezoidal tiene un error potencial mayor que el Punto Medio?

Question

Puedo aproximar el área debajo de una curva usando los métodos del Punto Medio y Trapezoidal, con errores tales que:

$Error_m \leq \frac{k(b-a)^3}{24n^2}$ y$Error_T \leq \frac{k(b-a)^3}{12n^2}$.

¿No sugiere esto que el Método del punto medio es dos veces más preciso que el Método Trapezoidal?

Answer 1

Ya se ha dicho en los comentarios de que el error de estimación se citan son límites superiores, por lo real que los errores pueden ser más pequeños y $E_M$ no suele ser exactamente la mitad de $E_T$ (y en realidad puede ser mayor en algunos casos).

Sin embargo, es bien vale la pena señalar que si la función está integrando pasa a ser un polinomio cúbico, entonces nos puede hacer una declaración exacta: $$ E_M=-\frac{1}{2}E_T. $$ Usted probablemente nunca integrar un polinomio cúbico numéricamente, pero si la función está integrando es bien aproximar por un polinomio cúbico en cada subinterval utilizado en la integración numérica, entonces los errores todavía debe estar relacionado con aproximadamente de la misma manera.

La anterior relación, obviamente, se mantiene en las funciones de $f(x)=1$$f(x)=x$. Vamos a comprobar la fuerza bruta para$f(x)=x^2$$f(x)=x^3$. Considerar una sola subinterval $[a,b]$ y dejar $A[f]$, $T[f]$, y $M[f]$ representan el área exacta integral de $f$$[a,b]$, la trapezoidal de estimación, y el punto medio de la estimación, respectivamente. Entonces $$ \begin{aligned} A[x^2]&=\int_a^bx^2\,dx=\frac{b^3-a^3}{3},\\ T[x^2]&=\frac{b-a}{2}(b^2+a^2)=\frac{b^3-ab^2+a^2b-a^3}{2}\\ M[x^2]&=(b-a)\left(\frac{b+a}{2}\right)^2=\frac{b^3+ab^2-a^2b-b^3}{4}. \end{aligned} $$ Así $$ \begin{aligned} E_T[x^2]&=T[x^2]-A[x^2]=\frac{b^3-a^3}{6}-ab\frac{b-a}{2},\\ E_M[x^2]&=M[x^2]-A[x^2]=-\frac{b^3-a^3}{12}+ab\frac{b-a}{4}=-\frac{1}{2}E_T[x^2].\\ \end{aligned} $$ Del mismo modo $$ \begin{aligned} A[x^3]&=\int_a^bx^3\,dx=\frac{b^4-a^4}{4},\\ T[x^3]&=\frac{b-a}{2}(b^3+a^3)=\frac{b^4-ab^3+a^3b-a^4}{2}\\ M[x^3]&=(b-a)\left(\frac{b+a}{2}\right)^3=(b-a)\frac{b^3+3ab^2+3a^2b+a^3}{8}\\ &=\frac{b^4+2ab^3-2a^3b-a^4}{8}. \end{aligned} $$ Así $$ \begin{aligned} E_T[x^3]&=T[x^3]-A[x^3]=\frac{b^4-a^4}{4}-\frac{ab}{2}(b^2-a^2),\\ E_M[x^3]&=M[x^3]-A[x^3]=-\frac{b^4-a^4}{8}+\frac{ab}{4}(b^2-a^2)=-\frac{1}{2}E_T[x^3].\\ \end{aligned} $$ Desde la declaración tiene por $1,$ $x,$ $x^2,$ y $x^3,$ se mantiene para todos los polinomios cúbicos por linealidad de $A,$ $T,$ y $M.$

Otro punto de vista sobre esto es la siguiente: si $T_n,$ $M_n,$ y $S_n$ representa a las estimaciones dadas por los trapezoidal, punto medio, y las reglas de Simpson con $n$ subintervalos (por lo $T$ $M$ por encima de se $T_1$$M_1$), entonces uno encuentra que $$ S_{2n}=\frac{T_n+2M_n}{3}. $$ Si el error en $S_{2n}[f]$ es mucho menor que el de los errores en $T_n[f]$$M_n[f]$, entonces debe ser el caso de que $E_{M_n}[f]\approx-\frac{1}{2}E_{T_n}[f].$ Este es, de hecho, el caso para muchas funciones.

Para un ejemplo de una función donde $E_T[f]$ es mucho más grande de lo $E_M[f],$ imaginar una función que es casi lineal en todo el intervalo, pero tiene un pico agudo o sumergir en un pequeño barrio de el punto medio. Para tal función, el $k$ en el error de obligado—es el mismo $k$ en ambos límites—sería grande desde la segunda derivada sería grande en las inmediaciones del pico o dip. Aquí no hay contradicción desde el trapezoidal de error obligado sería bastante pobre en ese caso, mientras que el punto medio de error de enlazado podría ser bastante razonable.

Un comentario final: usted puede encontrar los diagramas de libros que explican por qué la $E_M$ tiende a ser menor que $E_T$ y de signo opuesto. No estoy seguro de que estos diagramas de proporcionar una razón de peso para creer que $E_M$ es de aproximadamente la mitad de la magnitud de $E_T,$, pero voy a dar a esto algún pensamiento. Los diagramas que tengo en mente representan el punto medio de la estimación por trapezoidal de la zona, donde las diagonales del trapecio es la tangente a la curva en el punto medio. Está claro que, si no hay un punto de inflexión en el intervalo, entonces, si el trapecio de la regla del punto medio es una sobreestimación de la integral, el trapecio de la regla trapezoidal será una estimación de la integral, y viceversa.

Añadido: La regla del punto medio es a menudo presentado geométricamente como una serie de áreas rectangulares, pero es más informativo para volver a dibujar cada rectángulo como un trapecio de la misma área. Estas dos presentaciones, en el caso de un intervalo, se muestra a continuación.

La pendiente del borde superior del trapecio ha sido el elegido para que coincida con la de la curva en el punto medio. Que el borde superior del trapecio es la mejor aproximación lineal de la curva en el punto medio del intervalo puede proporcionar una cierta intuición de por qué la regla del punto medio, a menudo es mejor que la regla trapezoidal.

Una serie de pares de parcelas que se muestra a continuación. En cada par, la regla trapezoidal ha sido utilizado en la izquierda, y la regla del punto medio ha sido utilizado en el derecho.!

Answer 2

En un intervalo donde la función es cóncava hacia abajo, la Regla Trapezoidal se subestiman de forma constante el área bajo la curva. (Y a la inversa, si la función es cóncava hacia arriba, la Regla Trapezoidal constantemente sobreestimar la zona.)

Con la Regla del punto Medio, cada rectángulo a veces sobreestimar y a veces subestiman la función (a menos que la función tiene un mínimo local/máximo en el punto medio), y así los errores parcialmente cancelar. (Exactamente cancelar si la función es una línea recta.)